Matemáticas Financieras - Lección 43: Préstamos con distintos tipos de interés

En algunos préstamos se establecen distintos tipos de interés según el periodo:
Por ejemplo: 8% durante los dos primeros años, 9% durante el 3º y 4º año, y 10% durante los dos últimos años.

Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el tipo de interés va aumentando a medida que se incrementa el plazo.

Aparte de esta peculiaridad, estos préstamos pueden seguir el desarrollo de algunos de los modelos que hemos analizado (cuotas periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.). Vamos a ver un ejemplo de un préstamo que sigue el modelo de cuotas constantes.

a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes
Supongamos que se han establecido 2 tramos: uno que va desde el inicio hasta el periodo "s", con un tipo de interés "i1", y un segundo tramo que va desde el periodo s+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés "i2". Entonces:

Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)

Donde AMs es el valor de la cuota periódica constante y Co es el importe inicial del préstamo

Donde (AMs * Ao) es el valor actualizado del primer tramo (Ao es el valor actual de una renta pospagable, constante, de "s" periodos de duración y con tipo de interés i1)

Donde (AMs * (1 + i1)^-s *A1) es el valor actualizado del segundo tramo (A1 es el valor en el momento "s" de una renta pospagable constante, desde el periodo "s+1" hasta el periodo "n", y con tipo de interés i2)
Como A1 es el valor en el momento "s", hay que actualizarlo hasta el momento 0, de ahí el paréntesis (1 + i1)^-s
Es interesante ver como para descontar este segundo termino hasta el momento "0" se aplica el tipo de interés del primer tramo, ya que es el que está vigente entre el momento 0 y el momento "s"

Ejemplo:

Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante:

Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
luego, 4.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,09)^-3)/0,09)) + (AMs * (1+0,09)^-3* ((1 - (1+0,1)^-3)/ 0,1))
luego, AMs = 898.555 ptas.

Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 898.555 ptas.

Para calcular que parte de la cuota periódica corresponde a amortización de capital, procedemos de la siguiente manera:

Se calculan los intereses que incluye la primera cuota y por diferencia, la parte de la cuota que corresponde a devolución de capital:

M1 = AM1 + I1 (es decir, la cuota periódica es la suma de devolución de capital y de pago de intereses). Despejando, AM1 = A1 - I1
I1 lo podemos calcular: I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 4.000.000 * 0,09 * 1
luego, I1 = 360.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 898.555-360.000
luego, AM1 = 538.555 ptas.

Conociendo la devolución de principal del primer periodo se puede calcular el resto de devoluciones de principal aplicando la siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1

Lo único que ocurre es que esta ley se cumple mientras no cambia el tipo de interés. En el momento en que se inicia el 2º periodo ya no podemos seguir aplicando esta ley.

Vamos a calcular la devolución del principal del 2º y 3º periodo (no la del 4º porque ya cambia el tipo de interés):

Periodo ----------Devolución de principal

año 2 ----AM2 = AM1 * (1 + 0,09) = 587.025 ptas.
año 3 ----AM3 = AM1 * (1 + 0,09)^2 = 639.857 ptas.

Para calcular la devolución de principal en la 1º cuota del segundo tramo (la correspondiente al 4º año), hay que empezar por calcular los intereses que incluye esa cuota:

Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t

Tenemos todos los datos menos el saldo vivo al final del 3º periodo. Este saldo vivo lo podemos calcular:

Aplicamos la fórmula: S3 = C0 - AM1 - AM2 - AM3
luego, S3 = 4.000.000 - 538.555 - 58.025 - 639.857
luego, S3 = 2.234.563 ptas.

Ya se pueden calcular los intereses del 4º periodo:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
luego, I4 = 2.234.563 * 0,1 * 1
luego, I4 = 223.456 ptas.

Una vez calculado los intereses del 4º periodo, por diferencia podemos calcular la parte de la cuota que corresponde a amortización de capital:
AM4 = A4 - I4
luego, M4 = 898.555 - 223.456
luego, M4 = 675.099 ptas.

El resto de amortizaciones de capital del 2º tramo, se calcula aplicando la formula que conocemos:
AMs = AM4 * (1 + i2)^s-4 (tomamos como punto de partida el año 4)

Por lo tanto:

Periodo --------Devolución de principal
año 5 ----AM5 = AM4 * (1 + 0,10) = 742.609 ptas.
año 6 ----AM6 = AM4 * (1 + 0,10)^2 = 816.870 ptas.

De esta manera, ya conocemos la devolución de principal de todos los periodos. Por diferencia, se calcula la parte de intereses de cada cuota y también es fácil ver como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado.

La tabla de amortización del préstamo quedaría:

Periodo ---Saldo --Amortización -Intereses ---Cuota --Cap. amort.

año 0 ---4.000.000 -------0 -----------0 -----------0 -----------0
año 1 ---3.461.445 ---538.555 ---360.000 ---898.555 ---538.555
año 2 ---2.874.420 ---587.025 ---311.530 ---898.555 --1.125.580
año 3 ---2.234.563 ---639.857 ---258.698 ----98.555 --1.765.437
año 4 ---1.559.464 ---675.099 ---223.456 ---898.555 --2.440.536
año 5 ----816.870 ----742.609 ---155.946 ---898.555 --3.183.145
año 6 --------0 --------816.870 ---81.685 -----898.555 -4.000.000