Matemáticas Financieras - Lección 21: Renta Diferida y Anticipada (II)

B) RENTA ANTICIPADA

Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo.

Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurren "k" periodos.

La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales.

Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo--Importe capitalizado--Importe capitalizado

-------------(Renta normal)------(Renta anticipada)

1----------1 * ( 1 + i )^n-1------1 * ( 1 + i )^n-1+k

2----------1 * ( 1 + i )^n-2------1 * ( 1 + i )^n-2+k

3----------1 * ( 1 + i )^n-3------1 * ( 1 + i )^n-3+k

n-2--------1 * ( 1 + i )^2--------1 * ( 1 + i )^2+k

n-1--------1 * ( 1 + i )^1--------1 * ( 1 + i )^1+k

n-----------------1------------------1 * ( 1 + i )^k

Luego, el valor final sería el siguiente:

-------------------Renta normal---------------------- Renta anticipada

Valor final---Sf = ((1 + i)^n - 1) / i ------ k/Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)

Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable:

---------------------Renta normal -------------------------Renta anticipada

Valor final S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) -----k/S¨f = (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)

Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final.

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años:

Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf

luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12)
luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152
luego, Vn = 6.384.625 ptas.

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral

Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,874%

Aplicamos ahora la fórmula de valor final, Vn = C * k/S¨f

luego, Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)
luego, Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vn = 150.000*1,3657*26,5286
luego, Vn = 5.434.521 ptas.