Matemáticas Financieras - Lección 9: Descuento Racional

La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera:
D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
" D " son los intereses que hay que pagar
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión

Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final:
Cf = Co - D

Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t))
(sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t))
(sacando factor común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t))
(operando en el paréntesis)
luego, Cf = Co / (1 + d * t)
" Cf " es el capital final

Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 1.200.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.
Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
luego, D = ( 1.200.000 * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666)
(0,666 es el equivalente anual de 8 meses)
luego, D = 102.345 ptas.

Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:

a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):
luego, Cf = 1.200.000 - 102.345
luego, Cf = 1.097.655 ptas.

b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.200.000 / (1 + 0,14 * 0,666)
luego, Cf = 1.200.000 / 1,09324
luego, Cf = 1.097.655 ptas.

La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.

Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.

Veamos un ejemplo: Descontar un capital de 1.000.000 ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés.

a) Aplicando el descuento racional.
b) Aplicando el descuento comercial.

a) Aplicando el descuento racional
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t)
luego, Cf = 1.000.000 / (1 + 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 952.381 ptas.
Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t))
(El capital descontado, 952.381 ptas, pasa a ser ahora "Co")
luego, Cf = 952.381 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 1.000.000 ptas.
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida

b) Aplicando el descuento comercial
Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t ))
luego, Cf = 1.000.000 * (1 - 0,1 * 0,5)
luego, Cf = 950.000 ptas.
Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t))
luego, Cf = 950.000 * (1 + (0,1 * 0,5))
luego, Cf = 997.500 ptas.

No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia

Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial.