Matemáticas Financieras - Lección 4: Capitalización Compuesta

La capitalización compuesta es otra fórmula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.

La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses.

Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo.

La fórmula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:

I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a ")

" I " son los intereses que se generan
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" i " es la tasa de interés que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión

Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año.

I = 2.000.000 * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1)
I = 200.000 * (1,1 - 1)
I = 20.000 ptas.

Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final:

Cf = Co + I

Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t) - 1)
(sustituyendo "I" por su equivalente)
Cf = Co * (( 1 + i) ^ t)
(sacando factor común "Co")
" Cf " es el capital final

Ejemplo: ¿ Cuál será el capital final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co + I

Cf = 2.000.000 + 20.000

Cf = 2.020.000 ptas.

Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal.

El cálculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La fórmula de cálculo es la siguiente:

1 + i = ( 1 + im ) ^ m
(m se refiere a la base temporal que se utiliza)
(m = 1, para años)
(m = 2, para semestres)
(m = 3, para cuatrimestres)
(m = 4, para trimestres)
(m = 12, para meses)
(m = 365, para días)
Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual.


Base temporal-----------Cálculo---------------Tipo equivalente

Semestre---------1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2 -------i2 = 7,24 %

Cuatrimestre-----1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3 -------i3 = 4,76 %

Trimestre --------1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4 -------i4 = 3,56 %

Mes -------------- 1 + 0,15 = (1 + i12) ^ 12 ----i12 = 1,17 %

Día ---------------1 + 0,15 = (1 + i365) ^ 365 --i365 = 0,038 %