Matemáticas Financieras - Lección 19: Renta Perpetua Constante

La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo).

Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos).

A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES
Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias:

Periodo -------- 1---2---3---4---5.......

Importe (ptas) 1---1---1---1--1.......

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe:

Periodo -----Importe ------Importe descontado

1-----------------1-------------1 / ( 1 + i )
2-----------------1-------------1 / ( 1 + i )^2
3----------------1-------------1 / ( 1 + i )^3
4----------------1------------1 / ( 1 + i )^4

La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

APo = 1 / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula APo = 1 / i

luego, APo = 1 / 0,16
luego, APo = 6,25 ptas.

Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:

Vo = C * APo = C / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:
Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral

Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2
Luego, i2 = 4,88%

Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i
luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488
luego, Vo = 20.491.803 ptas.

En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan).

B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES
Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por ÄPo.

Periodo -----Importe -------Importe descontado

1----------------1---------------------1
2----------------1---------------1 / ( 1 + i )
3----------------1---------------1 / ( 1 + i )^2
4----------------1--------------1 / ( 1 + i )^3

Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:
ÄPo = (1 + i) / i

Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%:
Aplicamos la fórmula ÄPo = (1 + i) / i

luego, ÄPo = (1 + 0,16) / 0,16
luego, ÄPo = 7,25 ptas.

Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será:
Vo = C * ÄPo = C * (1 + i) / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%:

Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo = C * (1 + i) / i
luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488
luego, Vo = 21.491.803 ptas.

La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable ÄPo es la siguiente:
ÄPo = (1 + i) * APo

Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria.