Matemáticas Financieras - Lección 15: Renta constante temporal pospagable (I)

Hemos definido como rentas constantes aquellas en las que los importes de capital (términos de la renta) son siempre iguales.


Dentro de las rentas constantes, vamos a distinguir las siguientes modalidades:


Renta temporal pospagable
Renta temporal prepagable
Renta perpetua pospagable
Renta perpetua prepagable
Renta diferida
Renta anticipada


Vamos a comenzar con el estudio de la renta temporal pospagable:


RENTA TEMPORAL POSPAGABLE
Es aquella de duración determinada, en la que los importes de capital se generan al final de cada sub-periodo (p.e. contrato de alquiler por 5 años, con pago del alquiler al final de cada mes).


Para ver como se calcula su valor ("valor capital") vamos a comenzar por el caso más sencillo: el importe de capital en cada periodo es de 1 peseta (renta unitaria). Es decir, tenemos una sucesión finita (de "n" periodos) de importes de 1 peseta.



Periodo -------- 1----2---3.............. n-2---n-1---n

Importe (ptas)--1----1----------------- 1----- 1---- 1

Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de
descuento compuesto:

Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t
que es equivalente a:
Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t

Vamos a ir descontando cada importe:

Periodo------------Importe--------- Importe descontado
1 ---------------------1 ------------------1 / ( 1 + i )
2 ---------------------1------------------ 1 / ( 1 + i )^2
3 ---------------------1 ------------------1 / ( 1 + i )^3
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 -------------------1------------------ 1 / ( 1 + i )^n-2
n-1------------------- 1 ------------------1 / ( 1 + i )^n-1
n ----------------------1 -----------------1 / ( 1 + i )^n

La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a:

Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16
luego, Ao = 0,6461/0,16
luego, Ao = 4,0386 ptas.

Luego el valor actual de esta renta es 4,04 ptas.

IMPORTANTE: plazo, tipo de interés e importes han de ir referidos a la misma base temporal. En este ejemplo, como los importes son anuales, hay que utilizar la base anual. Si, por ejemplo, los importes hubieran sido trimestrales, el tiempo y el tipo irían en base trimestral.

Para calcular el valor final de esta renta, que denominaremos Sf, hay que realizar el proceso inverso, es decir, capitalizar todos los importes y llevarlos al momento final. Para ello utilizaremos la ley de capitalización compuesta:

Cf = Co * ( 1 + i) ^ t

Veamos el ejemplo:

Periodo--------Importe-------- Importe capitalizado
1 ------------------1 ---------------1 * ( 1 + i )^n-1
2 ------------------1 ---------------1 * ( 1 + i )^n-2
3 ------------------1 ---------------1 * ( 1 + i )^n-3
..... ..... .....
..... ..... .....
n-2 ----------------1--------------- 1 * ( 1 + i )^2
n-1 ----------------1--------------- 1 * ( 1 + i )^1
n ------------------1 ------------------------1

Sumando los distintos importes capitalizados y simplificando, llegamos a:
Sf = ((1 + i)^n - 1) / i

Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%:

Aplicamos la fórmula Sf = ((1 + i)^n - 1) / i

luego, Sf = ((1 + 0,16)^7 - 1) / 0,16
luego, Sf = 1,8262/0,16
luego, Sf = 11,4139 ptas.

Luego el valor final de esta renta es 11,4 ptas.

Podemos ver que relación existe entre el valor inicial Ao y el valor final Sf, y esto nos viene dado por la siguiente fórmula:
Sf = Ao (1 + i)^n

Veamos si se cumple en el ejemplo que estamos viendo:
Hemos visto que Ao = 4,0386 ptas.
y que Sf = 11,4139 ptas.
Luego 11,4139 = 4,0386* (i+0,16)^7
Luego 11,4139 = 4,0386*2,8262
Luego 11,4139 = 11,4139

Se cumple, por tanto, la relación