Son aquellas obligaciones que permiten al inversor (obligacionista) decidir en un momento futuro entre mantener dichas obligaciones o convertirlas en acciones de la sociedad.
En el momento de emitir estas obligaciones se fija el sistema que se utilizará para determinar la relación de conversión (es decir, número de acciones a recibir por cada obligación), así como en que momento(s) futuro(s) el obligacionista podrá optar por acudir a la conversión.
La relación de conversión se determina:
Valor de conversión de la obligación / valor de la acción
a) Valor de conversión de la obligación: suele ser su valor nominal.
b) Valor de la acción: se suele fijar el precio medio de la acción durante un número determinado de días antes de la fecha de conversión. A efectos de hacer la conversión más atractiva para el inversor, a este precio medio se le suele aplicar un descuento (10-20%).
Para ver si interesa o no acudir a la conversión hay que comparar los dos valores siguientes:
a) Valor de mercado de la obligación en la fecha de la conversión
b) Valor de transformación: es el valor de mercado en dicha fecha del número de acciones que se recibe por cada obligación.
Si el valor de mercado de la obligación es mayor, no interesa acudir a la conversión. Si es menor, si interesa acudir.
La diferencia entre el valor de mercado de la obligación y el valor de transformación se denomina "prima de conversión".
Ejemplo:
Se emiten obligaciones convertibles de 10.000 ptas de nominal cada título, a un plazo de 5 años. Se establece la posibilidad de convertirlas en acciones al final del 1º año. La relación de conversión será:
Obligación: por su valor nominal
Acción: cotización media del último trimestre, con descuento del 15%.
Llegado el 31 de diciembre, la cotización media de la acción en el último trimestre ha sido de 150 ptas. (su cotización al 31/12 es de 180 ptas.). Por su parte, el valor de mercado de la obligación asciende a 11.150 ptas.
Determinar:
a) Relación de conversión
b) Prima de conversión
c) ¿Interesa acudir a la conversión?
Solución:
a) Relación de conversión:
Valor de conversión de la obligación / valor de la acción
Luego, Relación de intercambio = 10.000 / (150 * 0,85)
Luego, Relación de intercambio = 78,43 acciones
Es decir, por cada obligación se recibirán 78,43 acciones.
b) Prima de conversión:
Valor de transformación (180 * 78,43) = 14.117,4 ptas.
Valor de mercado de la obligación = 11.150,0 ptas.
Prima de conversión = 2.967,4 ptas.
c) Como la prima de conversión es positiva, conviene acudir a la misma.
2 feb 2007
Matemáticas Financieras - Lección 51: Deuda del Estado
El Estado utiliza como fuente de financiación la emisión de títulos-valores a medio y largo plazo:
Bonos del Estado (vencimiento a 3-5 años)
Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)
Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:
a) Su valor nominal suele ser constante (actualmente 10.000 ptas.)
b) Se suscriben mediante subasta, adjudicándoselo aquel inversionista que ofrece un precio más elevado
c) Pago de intereses anuales pospagables
d) Amortización a la par
La colocación de estos valores se realiza con anterioridad a la emisión de los mismos:
Por ejemplo: unas obligaciones a 10 años que se van a emitir el 10 de enero del año 2000, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/99.
En el momento de la colocación el inversor desembolsa ya el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no se emite.
Este plazo transcurrido entre colocación y emisión hay que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.
Ejemplo: El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/00. El nominal de cada título es de 10.000 ptas y ofrece un tipo de interés del 6,5%. El inversor los suscribe el 31/09/99 al 102% de su valor (es decir, paga 10.200 ptas. por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:
Fecha -------Suscripción ---Intereses ---Amortización
31/09/99 ---- - 10.200
01/00/00 -----(Emisión)
31/12/00 ------------------- + 650
31/12/01 ------------------- + 650
31/12/02 ------------------- + 650
31/12/03 ------------------- + 650
31/12/04 ------------------- + 650 ------ + 10.000
(Con signo negativo los pagos que realiza el inversor y con signo positivo los ingresos que recibe)
Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula:
I = Co * i * t
Luego, I = 10.000 * 0,065 * 1 = 650 ptas.
Para calcular el rendimiento efectivo de este título se aplica la fórmula de equivalencia financiera:
Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t
Siendo, Pc: precio de compra del título (en el ejemplo, 10.200 ptas.)
Siendo, I: intereses periódicos (en el ejemplo: 650 ptas.)
Siendo, Ao: valor actual de una renta unitaria, pospagable: Ao = (1 - (1 + ie)^-n)/ ie
Siendo, ie: el tipo de interés efectivo de la operación. Su valor se obtiene como solución de la ecuación de equivalencia financiera
Siendo, Pa: el precio de amortización (en el ejemplo: 10.000 ptas.)
Siendo, n: el plazo de duración de los títulos emitidos (en el ejemplo: 5 años)
Siendo, t: el tiempo transcurrido entre la suscripción (momento en el que el inversor desembolsa el dinero) y la emisión del título (en el ejemplo, 0,25 años)
El paréntesis (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) calcula el valor actual de los ingresos que recibe el inversionista, actualizados al momento de emisión del título.
El paréntesis (1 + ie)^-t descuenta el valor calculado en el paréntesis anterior, desde el momento de la emisión hasta el momento de la suscripción.
Resolvemos la ecuación:
10.200 = ((650 * (1 - (1+ie)^-5)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-5)) * (1+ie) ^-0,25
ie = 5,694 %
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este título (en las condiciones que se ha adquirido) es del 5,694%, inferior al 6,5% nominal que ofrece.
¿Por qué esta menor rentabilidad?.
Básicamente por dos motivos: primero, por que se ha pagado por el título más que su valor nominal (10.200 ptas. vs 10.000 ptas.) y segundo, por que se ha desembolsado su importe 3 meses antes que su fecha de emisión.
Bonos del Estado (vencimiento a 3-5 años)
Obligaciones del Estado (vencimiento a 10-30 años)
Estos títulos presentan entre otras las siguientes características:
a) Su valor nominal suele ser constante (actualmente 10.000 ptas.)
b) Se suscriben mediante subasta, adjudicándoselo aquel inversionista que ofrece un precio más elevado
c) Pago de intereses anuales pospagables
d) Amortización a la par
La colocación de estos valores se realiza con anterioridad a la emisión de los mismos:
Por ejemplo: unas obligaciones a 10 años que se van a emitir el 10 de enero del año 2000, comienzan a colocarse entre los inversores a partir de junio/99.
En el momento de la colocación el inversor desembolsa ya el importe de la adquisición, pero el título no comienza a generar intereses hasta que no se emite.
Este plazo transcurrido entre colocación y emisión hay que tenerlo en cuenta a la hora de calcular la rentabilidad efectiva del título.
Ejemplo: El Estado emite bonos a 5 años, con fecha de emisión 1/01/00. El nominal de cada título es de 10.000 ptas y ofrece un tipo de interés del 6,5%. El inversor los suscribe el 31/09/99 al 102% de su valor (es decir, paga 10.200 ptas. por cada título). Calcular su rendimiento efectivo:
Fecha -------Suscripción ---Intereses ---Amortización
31/09/99 ---- - 10.200
01/00/00 -----(Emisión)
31/12/00 ------------------- + 650
31/12/01 ------------------- + 650
31/12/02 ------------------- + 650
31/12/03 ------------------- + 650
31/12/04 ------------------- + 650 ------ + 10.000
(Con signo negativo los pagos que realiza el inversor y con signo positivo los ingresos que recibe)
Los intereses de cada periodo se han calculado aplicando la fórmula:
I = Co * i * t
Luego, I = 10.000 * 0,065 * 1 = 650 ptas.
Para calcular el rendimiento efectivo de este título se aplica la fórmula de equivalencia financiera:
Pc = (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) * (1 + ie)^-t
Siendo, Pc: precio de compra del título (en el ejemplo, 10.200 ptas.)
Siendo, I: intereses periódicos (en el ejemplo: 650 ptas.)
Siendo, Ao: valor actual de una renta unitaria, pospagable: Ao = (1 - (1 + ie)^-n)/ ie
Siendo, ie: el tipo de interés efectivo de la operación. Su valor se obtiene como solución de la ecuación de equivalencia financiera
Siendo, Pa: el precio de amortización (en el ejemplo: 10.000 ptas.)
Siendo, n: el plazo de duración de los títulos emitidos (en el ejemplo: 5 años)
Siendo, t: el tiempo transcurrido entre la suscripción (momento en el que el inversor desembolsa el dinero) y la emisión del título (en el ejemplo, 0,25 años)
El paréntesis (I * Ao + Pa (1 + ie) ^-n) calcula el valor actual de los ingresos que recibe el inversionista, actualizados al momento de emisión del título.
El paréntesis (1 + ie)^-t descuenta el valor calculado en el paréntesis anterior, desde el momento de la emisión hasta el momento de la suscripción.
Resolvemos la ecuación:
10.200 = ((650 * (1 - (1+ie)^-5)/ ie) + (10.000*(1 + ie)^-5)) * (1+ie) ^-0,25
ie = 5,694 %
Por lo tanto, la rentabilidad efectiva que proporciona este título (en las condiciones que se ha adquirido) es del 5,694%, inferior al 6,5% nominal que ofrece.
¿Por qué esta menor rentabilidad?.
Básicamente por dos motivos: primero, por que se ha pagado por el título más que su valor nominal (10.200 ptas. vs 10.000 ptas.) y segundo, por que se ha desembolsado su importe 3 meses antes que su fecha de emisión.
31 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 49: Valoración de préstamos
La valoración de un préstamo permite calcular el valor de este activo en cualquier momento de la vida de la operación. Es decir, determina el precio al que la entidad financiera tenedora del préstamo estaría dispuesta a venderlo.
El valor del préstamo varía a lo largo de la vida de la operación, dependiendo fundamentalmente de su saldo vivo en ese momento, así como del tipo de interés vigente en el mercado para operaciones similares.
Cuando cambian las condiciones de mercado y los tipos de interés para operaciones similares son diferentes a los del préstamo, el valor de éste se modifica y no coincide con el importe de su saldo vivo.
La regla que se cumple es la siguiente:
a) Si los tipos de interés para préstamos similares son superiores a los del préstamo, su valor será inferior al importe de su saldo vivo.
b) Si los tipos de mercado son inferiores, su valor será superior al importe de su saldo vivo.
¿A qué responde esta relación?:
Si los tipos de mercado son superiores a los del préstamo, la entidad financiera está teniendo un coste de oportunidad, ya que podría obtener la misma cuota periódica prestando menos dinero.
Si los tipos de mercado fueran inferiores a los del préstamo, la entidad financiera le estaría obteniendo una rentabilidad más elevada que la que podría obtener concediendo un préstamo similar en las nuevas condiciones de mercado.
¿Cómo se calcula el valor de un préstamo?
Se actualizan al momento de la valoración todas las cuotas periódicas que quedan pendientes de vencer, aplicando el tipo de interés vigente en ese momento en el mercado para préstamos de las mismas características.
Veamos un ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 7.000.00 ptas. a 7 años, con un tipo de interés fijo del 10% y con amortización de principal constante.
Su cuadro de amortización es el siguiente:
Periodo --Amortización --Intereses --Cuota periódica ---Saldo vivo
año 0 ---------0 -----------0 ------------0 -----------7.000.000
año 1 ----1.000.000 -----700.000 ----1.700.000 -------6.000.000
año 2 ----1.000.000 -----600.000 ----1.600.000 -------5.000.000
año 3 ----1.000.000 -----500.000 ----1.500.000 -------4.000.000
año 4 ----1.000.000 -----400.000 ----1.400.000 -------3.000.000
año 5 ----1.000.000 -----300.000 ----1.300.000 -------2.000.000
año 6 ----1.000.000 -----200.000 ----1.200.000 -------1.000.000
año 7 ----1.000.000 -----100.000 ----1.100.000 -----------0
Vamos a calcular el valor del préstamo al final del año 3. El saldo vivo es entonces de 4.000 000 ptas.
a) Si el tipo de interés de mercado para préstamos similares fuera en ese momento del 15% (superior al 10% del préstamo):
Actualizamos al final del año 3 todas las cuotas pendientes de pago:
V(3)= 1.400.000/(1,15) + 1.300.000/(1,15)^2 + 1.200.000/(1,15)^3 + 1.100.000/(1º,15)^4
V(3)= 3.618.326 ptas.
El valor del préstamo sería de 3.618.326 ptas., inferior a su saldo vivo (4.000.000 ptas.). Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea superior al del préstamo.
b) Si el tipo de interés de mercado fuera del 8%:
V(3)= 1.400.000/(1,08) + 1.300.000/(1,08)^2 + 1.200.000/(1,08)^3 + 1.100.000/(1,08)^4
V(3)= 4.454.049 ptas.
El valor del préstamo sería ahora de 4.454.049 ptas., superior a su saldo vivo. Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea inferior al del préstamo.
c) Si el tipo de interés de mercado fuera del 10%:
V(3)= 1.400.000/(1,10) + 1.300.000/(1,10)^2 + 1.200.000/(1,10)^3 + 1.100.000/(1,10)^4
V(3)= 4.000.000 ptas.
En este caso el valor del préstamo coincidiría con el importe de su saldo vivo.
El valor del préstamo varía a lo largo de la vida de la operación, dependiendo fundamentalmente de su saldo vivo en ese momento, así como del tipo de interés vigente en el mercado para operaciones similares.
Cuando cambian las condiciones de mercado y los tipos de interés para operaciones similares son diferentes a los del préstamo, el valor de éste se modifica y no coincide con el importe de su saldo vivo.
La regla que se cumple es la siguiente:
a) Si los tipos de interés para préstamos similares son superiores a los del préstamo, su valor será inferior al importe de su saldo vivo.
b) Si los tipos de mercado son inferiores, su valor será superior al importe de su saldo vivo.
¿A qué responde esta relación?:
Si los tipos de mercado son superiores a los del préstamo, la entidad financiera está teniendo un coste de oportunidad, ya que podría obtener la misma cuota periódica prestando menos dinero.
Si los tipos de mercado fueran inferiores a los del préstamo, la entidad financiera le estaría obteniendo una rentabilidad más elevada que la que podría obtener concediendo un préstamo similar en las nuevas condiciones de mercado.
¿Cómo se calcula el valor de un préstamo?
Se actualizan al momento de la valoración todas las cuotas periódicas que quedan pendientes de vencer, aplicando el tipo de interés vigente en ese momento en el mercado para préstamos de las mismas características.
Veamos un ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 7.000.00 ptas. a 7 años, con un tipo de interés fijo del 10% y con amortización de principal constante.
Su cuadro de amortización es el siguiente:
Periodo --Amortización --Intereses --Cuota periódica ---Saldo vivo
año 0 ---------0 -----------0 ------------0 -----------7.000.000
año 1 ----1.000.000 -----700.000 ----1.700.000 -------6.000.000
año 2 ----1.000.000 -----600.000 ----1.600.000 -------5.000.000
año 3 ----1.000.000 -----500.000 ----1.500.000 -------4.000.000
año 4 ----1.000.000 -----400.000 ----1.400.000 -------3.000.000
año 5 ----1.000.000 -----300.000 ----1.300.000 -------2.000.000
año 6 ----1.000.000 -----200.000 ----1.200.000 -------1.000.000
año 7 ----1.000.000 -----100.000 ----1.100.000 -----------0
Vamos a calcular el valor del préstamo al final del año 3. El saldo vivo es entonces de 4.000 000 ptas.
a) Si el tipo de interés de mercado para préstamos similares fuera en ese momento del 15% (superior al 10% del préstamo):
Actualizamos al final del año 3 todas las cuotas pendientes de pago:
V(3)= 1.400.000/(1,15) + 1.300.000/(1,15)^2 + 1.200.000/(1,15)^3 + 1.100.000/(1º,15)^4
V(3)= 3.618.326 ptas.
El valor del préstamo sería de 3.618.326 ptas., inferior a su saldo vivo (4.000.000 ptas.). Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea superior al del préstamo.
b) Si el tipo de interés de mercado fuera del 8%:
V(3)= 1.400.000/(1,08) + 1.300.000/(1,08)^2 + 1.200.000/(1,08)^3 + 1.100.000/(1,08)^4
V(3)= 4.454.049 ptas.
El valor del préstamo sería ahora de 4.454.049 ptas., superior a su saldo vivo. Esta situación se da siempre que el tipo de mercado sea inferior al del préstamo.
c) Si el tipo de interés de mercado fuera del 10%:
V(3)= 1.400.000/(1,10) + 1.300.000/(1,10)^2 + 1.200.000/(1,10)^3 + 1.100.000/(1,10)^4
V(3)= 4.000.000 ptas.
En este caso el valor del préstamo coincidiría con el importe de su saldo vivo.
Matemáticas Financieras - Lección 48: Préstamos con intereses anticipados (II)
Cuota de amortización constante
En este tipo de préstamos se mantiene constante la amortización de capital que se realiza en cada periodo. La cuota periódica, por su parte, va variando ya que el importe de los intereses va disminuyendo.
El importe de la amortización constante de capital se calcula con la siguiente fórmula:
AMs = Co / n
(Siendo C0 el importe del préstamo y n el número de periodos)
Conociendo el importe de la amortización de capital, se calcula fácilmente la evolución del saldo vivo y del capital amortizado
Saldo vivo
Ss = Co - S AM
Capital amortizado
CAs = S AM
El importe de los intereses de cada periodo se deduce a partir de la evolución del saldo vivo y se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Is = S * i * t
(Siendo S el saldo vivo del periodo)
Conocido el importe de la devolución de capital y de los intereses, se deduce el importe de la cuota de cada periodo:
Ms = AMs + Is
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las amortizaciones de capital son constantes.
Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización de capital y a intereses:
Solución:
La amortización de capital constante se calcula AMs = Co / n
Luego, AMs = 6.000.000 / 4
Luego, AMs = 1.500.000 ptas.
De esta manera podemos conocer como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado
Periodo ---Saldo vivo ---Capital amortizado
año 0 -----6.000.000 -----------0
año 1 -----4.500.000 -------1.500.000
año 2 -----3.000.000 -------3.000.000
año 3 -----1.500.000 -------4.500.000
año 4 ---------0 -----------6.000.000
El importe de los intereses se calcula aplicando la fórmula: Is = S * i * t
Periodo ---------Intereses
año 0 ----6.000.000 * 0,12 = 720.000
año 1 ----4.500.000 * 0,12 = 540.000
año 2 ----3.000.000 * 0,12 = 360.000
año 3 ----1.500.000 * 0,12 = 180.000
año 4 ------------0 * 0,12 = 0
Con estos datos podemos completar ya el cuadro de amortización:
Periodo-Amortización -Intereses --Cuota -------Saldo --Capital amortizado
año 0 --------0 ------720.000 --720.000 ----6.000.000 ------0
año 1 ----1.500.000 --540.000 -2.040.000 ---4.500.000 ---1.500.000
año 2 ----1.500.000 --360.000 -1.860.000 ---3.000.000 ---3.000.000
año 3 ----1.500.000 --180.000 -1.680.000 ---1.500.000 ---4.500.000
año 4 ----1.500.000 -----0 -----1.500.000 --------0 ------6.000.000
En este tipo de préstamos se mantiene constante la amortización de capital que se realiza en cada periodo. La cuota periódica, por su parte, va variando ya que el importe de los intereses va disminuyendo.
El importe de la amortización constante de capital se calcula con la siguiente fórmula:
AMs = Co / n
(Siendo C0 el importe del préstamo y n el número de periodos)
Conociendo el importe de la amortización de capital, se calcula fácilmente la evolución del saldo vivo y del capital amortizado
Saldo vivo
Ss = Co - S AM
Capital amortizado
CAs = S AM
El importe de los intereses de cada periodo se deduce a partir de la evolución del saldo vivo y se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Is = S * i * t
(Siendo S el saldo vivo del periodo)
Conocido el importe de la devolución de capital y de los intereses, se deduce el importe de la cuota de cada periodo:
Ms = AMs + Is
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las amortizaciones de capital son constantes.
Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización de capital y a intereses:
Solución:
La amortización de capital constante se calcula AMs = Co / n
Luego, AMs = 6.000.000 / 4
Luego, AMs = 1.500.000 ptas.
De esta manera podemos conocer como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado
Periodo ---Saldo vivo ---Capital amortizado
año 0 -----6.000.000 -----------0
año 1 -----4.500.000 -------1.500.000
año 2 -----3.000.000 -------3.000.000
año 3 -----1.500.000 -------4.500.000
año 4 ---------0 -----------6.000.000
El importe de los intereses se calcula aplicando la fórmula: Is = S * i * t
Periodo ---------Intereses
año 0 ----6.000.000 * 0,12 = 720.000
año 1 ----4.500.000 * 0,12 = 540.000
año 2 ----3.000.000 * 0,12 = 360.000
año 3 ----1.500.000 * 0,12 = 180.000
año 4 ------------0 * 0,12 = 0
Con estos datos podemos completar ya el cuadro de amortización:
Periodo-Amortización -Intereses --Cuota -------Saldo --Capital amortizado
año 0 --------0 ------720.000 --720.000 ----6.000.000 ------0
año 1 ----1.500.000 --540.000 -2.040.000 ---4.500.000 ---1.500.000
año 2 ----1.500.000 --360.000 -1.860.000 ---3.000.000 ---3.000.000
año 3 ----1.500.000 --180.000 -1.680.000 ---1.500.000 ---4.500.000
año 4 ----1.500.000 -----0 -----1.500.000 --------0 ------6.000.000
28 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 47: Préstamos con intereses anticipados
En este tipo de préstamos los intereses se pagan al comienzo de cada periodo. De hecho, el efectivo inicial que recibe el prestatario será el importe del préstamo menos los intereses del 1er periodo:
Por ejemplo: préstamo de 1.000.000 ptas., a 5 años, con tipo de interés del 10% y pago de intereses anticipados.
El prestatario recibe en el momento inicial 900.000 ptas. (1.000.000 ptas. del préstamo, menos los intereses de 100.000 ptas. del primer año).
La cuota periódica, que se sigue pagando a final de cada periodo, se compone de la amortización de capital de dicho periodo, más los intereses del periodo siguiente.
Estos préstamos pueden ofrecer diversas modalidades, entre las que destacamos:
a) Cuota de amortización constante
b) Amortización de capital constante
Cuota de amortización constante
Cumplen la siguiente ley de equivalencia financiera, que permite calcular el importe de la cuota constante:
Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)
(Siendo C0 el importe del préstamo y Ms la cuota periódica constante)
Para calcular que parte de la cuota corresponde a devolución de principal, se comienza por la del último periodo. En este caso, como los intereses de dicho periodo se pagaron por anticipado, la cuota incluye únicamente devolución de capital:
An = Ms (siendo An la amortización de capital del último periodo)
Para calcular las amortizaciones de capital del resto de los periodos se aplica la siguiente fórmula:
As = An * (1 - i)^n-s
Conocida la parte que corresponde a devolución de principal, por diferencia se calcula el importe de los intereses:
Ms = AMs + Is
luego, Is = Ms - AMs
Asimismo, también se puede calcular la evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Saldo vivo
Ss = Co - S AM
Capital amortizado
CAs = S AM
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las cuotas son constantes.
Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización de capital y a intereses:
Solución:
La cuota constante se calcula Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)
Luego, 6.000.000 = Ms * (1 - (1 - 0,12)^4/ 0,12)
Luego, Ms = 1.798.630 ptas.
Para calcular que parte de la cuota corresponde a amortización de capital, se comienza por la del último periodo. En este caso AMn = Mn
Luego, AM4 = 1.798.630 ptas.
El resto de los importes correspondientes a amortización de principal se calcula aplicando la fórmula: As = An * (1 - i)^n-s
Luego, A1 = 1.798.630 * (1-0,12)^3 = 1.225.716 ptas.
Luego, A2 = 1.798.630 * (1-0,12)^2 = 1.392.859 ptas.
Luego, A3 = 1.798.630 * (1-0,12) = 1.582.794 ptas.
La parte que corresponde a pago de intereses se calcula por diferencia. No obstante, ya en el momento inicia hay que pagar intereses:
I0 = 6.000.000 * 0,12 = 720.000 ptas. (en este caso se calcula multiplicando el importe del préstamo por el tipo de interés)
I1 = 1.798.630 - 1.225.716 = 572.914 ptas.
I2 = 1.798.630 - 1.392.859 = 405.771 ptas.
I3 = 1.798.630 - 1.582.794 = 215.836 ptas.
I4 = 1.798.630 - 1.798.630 = 0 ptas.
Podemos completar ya el cuadro de amortizaciones:
Periodo --Amortización --Intereses ---Cuota ---Saldo --Capital amortizado
año 0 ---------0 --------720.000 ---720.000 6.000.000 -------0
año 1 -----1.225.716 ----572.914 -1.798.630 4.774.284 ---1.225.716
año 2 -----1.392.859 ----405.771 -1.798.630 3.381.425 ---2.618.575
año 3 -----1.582.794 ----215.836 -1.798.630 1.798.630 ---4.201.369
año 4 -----1.798.630 -------0 ----1.798.630 ----0 --------6.000.000
Por ejemplo: préstamo de 1.000.000 ptas., a 5 años, con tipo de interés del 10% y pago de intereses anticipados.
El prestatario recibe en el momento inicial 900.000 ptas. (1.000.000 ptas. del préstamo, menos los intereses de 100.000 ptas. del primer año).
La cuota periódica, que se sigue pagando a final de cada periodo, se compone de la amortización de capital de dicho periodo, más los intereses del periodo siguiente.
Estos préstamos pueden ofrecer diversas modalidades, entre las que destacamos:
a) Cuota de amortización constante
b) Amortización de capital constante
Cuota de amortización constante
Cumplen la siguiente ley de equivalencia financiera, que permite calcular el importe de la cuota constante:
Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)
(Siendo C0 el importe del préstamo y Ms la cuota periódica constante)
Para calcular que parte de la cuota corresponde a devolución de principal, se comienza por la del último periodo. En este caso, como los intereses de dicho periodo se pagaron por anticipado, la cuota incluye únicamente devolución de capital:
An = Ms (siendo An la amortización de capital del último periodo)
Para calcular las amortizaciones de capital del resto de los periodos se aplica la siguiente fórmula:
As = An * (1 - i)^n-s
Conocida la parte que corresponde a devolución de principal, por diferencia se calcula el importe de los intereses:
Ms = AMs + Is
luego, Is = Ms - AMs
Asimismo, también se puede calcular la evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Saldo vivo
Ss = Co - S AM
Capital amortizado
CAs = S AM
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 6.000.000 ptas. a 4 años, con tipo de interés del 12%. Los intereses se pagan por anticipado y las cuotas son constantes.
Calcular el importe de la cuota, así como la parte que corresponde a amortización de capital y a intereses:
Solución:
La cuota constante se calcula Co = Ms * (1 - (1 - i)^n/ i)
Luego, 6.000.000 = Ms * (1 - (1 - 0,12)^4/ 0,12)
Luego, Ms = 1.798.630 ptas.
Para calcular que parte de la cuota corresponde a amortización de capital, se comienza por la del último periodo. En este caso AMn = Mn
Luego, AM4 = 1.798.630 ptas.
El resto de los importes correspondientes a amortización de principal se calcula aplicando la fórmula: As = An * (1 - i)^n-s
Luego, A1 = 1.798.630 * (1-0,12)^3 = 1.225.716 ptas.
Luego, A2 = 1.798.630 * (1-0,12)^2 = 1.392.859 ptas.
Luego, A3 = 1.798.630 * (1-0,12) = 1.582.794 ptas.
La parte que corresponde a pago de intereses se calcula por diferencia. No obstante, ya en el momento inicia hay que pagar intereses:
I0 = 6.000.000 * 0,12 = 720.000 ptas. (en este caso se calcula multiplicando el importe del préstamo por el tipo de interés)
I1 = 1.798.630 - 1.225.716 = 572.914 ptas.
I2 = 1.798.630 - 1.392.859 = 405.771 ptas.
I3 = 1.798.630 - 1.582.794 = 215.836 ptas.
I4 = 1.798.630 - 1.798.630 = 0 ptas.
Podemos completar ya el cuadro de amortizaciones:
Periodo --Amortización --Intereses ---Cuota ---Saldo --Capital amortizado
año 0 ---------0 --------720.000 ---720.000 6.000.000 -------0
año 1 -----1.225.716 ----572.914 -1.798.630 4.774.284 ---1.225.716
año 2 -----1.392.859 ----405.771 -1.798.630 3.381.425 ---2.618.575
año 3 -----1.582.794 ----215.836 -1.798.630 1.798.630 ---4.201.369
año 4 -----1.798.630 -------0 ----1.798.630 ----0 --------6.000.000
26 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 46: Préstamos Hipotecarios
Los préstamos hipotecarios son operaciones para financiar la adquisición de una vivienda. Son préstamos a largo plazo, entre 15 y 30 años, con tipo de interés que suele ser variable (referenciado a algún tipo de mercado, por ejemplo euribor a 1 año, y con revisión anual).
Las cuotas de amortización son constantes en el periodo que va entre cada revisión de tipos.
Cuando se va a solicitar un préstamo hay que conocer a cuanto asciende la cuota mensual. Esta va a depender del importe del préstamo, de su duración y del tipo de interés aplicado.
El importe de la cuota mensual se puede calcular haciendo la suposición de que el tipo de interés no variará durante toda la vida de la operación. Se pueden calcular unas tablas que determinan el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según el tipo y el plazo.
Para calcular el importe mensual por cada millón de pesetas se aplica la siguiente fórmula:
Co = AM * Ao
luego, 1.000.000 = AM * Ao (siendo AM la cuota mensual por millón y A0 el valor actual de una renta pospagable)
luego, 1.000.000 = AM * ((1 - (1 + i)^-n)/i)
El tipo de interés que se aplica en esta fórmula es el tipo mensual, ya que estamos calculando el importe de la cuota mensual.
Tan sólo con multiplicar la cuota mensual por millón por el número de millones que se pretende solicitar, se calcula el importe total de la cuota mensual del préstamo.
En el cuadro siguiente se ha calculado el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según diversas hipótesis de plazo y el tipo:
Cuota mensual --5 años --10 años --15 años --20 años --25 años --30 años
4% (*) ---------18.384 ---10.091 ----7.361 ---6.022 -----5.239 ----4.733
6% -------------19.259 ---11.022 ----8.353 ---7.073 -----6.346 ----5.894
8% -------------20.143 ---11.986 ---9.396 ----8.192 -----7.534 ----7.144
10 % -----------21.036 ---12.978 ---10.484 ---9.366 -----8.785 ----8.459
12% -----------21.936 ----13.995 --11.610 ---10.586 ----10.082 ---9.816
(*) El tipo de interés que aparece es el anual, pero para calcular el importe de las cuotas mensuales se calcula el tipo mensual equivalente.
Las cuotas de amortización son constantes en el periodo que va entre cada revisión de tipos.
Cuando se va a solicitar un préstamo hay que conocer a cuanto asciende la cuota mensual. Esta va a depender del importe del préstamo, de su duración y del tipo de interés aplicado.
El importe de la cuota mensual se puede calcular haciendo la suposición de que el tipo de interés no variará durante toda la vida de la operación. Se pueden calcular unas tablas que determinan el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según el tipo y el plazo.
Para calcular el importe mensual por cada millón de pesetas se aplica la siguiente fórmula:
Co = AM * Ao
luego, 1.000.000 = AM * Ao (siendo AM la cuota mensual por millón y A0 el valor actual de una renta pospagable)
luego, 1.000.000 = AM * ((1 - (1 + i)^-n)/i)
El tipo de interés que se aplica en esta fórmula es el tipo mensual, ya que estamos calculando el importe de la cuota mensual.
Tan sólo con multiplicar la cuota mensual por millón por el número de millones que se pretende solicitar, se calcula el importe total de la cuota mensual del préstamo.
En el cuadro siguiente se ha calculado el importe de la cuota mensual por cada millón de pesetas, según diversas hipótesis de plazo y el tipo:
Cuota mensual --5 años --10 años --15 años --20 años --25 años --30 años
4% (*) ---------18.384 ---10.091 ----7.361 ---6.022 -----5.239 ----4.733
6% -------------19.259 ---11.022 ----8.353 ---7.073 -----6.346 ----5.894
8% -------------20.143 ---11.986 ---9.396 ----8.192 -----7.534 ----7.144
10 % -----------21.036 ---12.978 ---10.484 ---9.366 -----8.785 ----8.459
12% -----------21.936 ----13.995 --11.610 ---10.586 ----10.082 ---9.816
(*) El tipo de interés que aparece es el anual, pero para calcular el importe de las cuotas mensuales se calcula el tipo mensual equivalente.
24 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 45: Préstamo con distintos tipos de interés (Ejercicio)
Ejercicio:
Un banco concede un préstamo de 5.000.000 ptas. a 6 años, aplicando un 10% en los 2 primeros años, un 12% en el 3ª y 4ª año, y un 14% en los 2 últimos años.
Calcular el cuadro de cuotas de amortización, suponiendo que el préstamo es del tipo de cuotas constantes.
Solución
Comenzamos calculando el importe de la cuota periódica constante:
Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i)^-2 * A1) + (AMs * (1 + i)^-4 * A2)
(siendo (AMs * Ao) el valor actualizado de las cuotas de los 2 primeros años)
(siendo (AMs * (1 + i)^-2 * A1) el valor actualizado de las cuotas de los años 3º y 4º)
(siendo (AMs * (1 + i)^-4 * A2) el valor actualizado de las cuotas de los años 5º y 6º)
luego, 5.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,10)^-2)/0,1)) + (AMs * (1+0,1)^-2* ((1 - (1+0,12)^-2)/0,12)) + (AMs * (1+0,1)^-2*(1+0,12)^-2 *((1 - (1+0,14)^-2)/0,14))
(Al actualizar las cuotas del 2º tramo, se multiplica por (1+0,1)^-2 para traerlo al momento cero.
En este paréntesis se utiliza el tipo de interés del primer tramo, ya que es el tipo vigente entre el año 2 y el momento inicial).
(Lo mismo ocurre al actualizar el valor de las cuotas del 3º tramo. En este caso se multiplica por (1+0,12)^-2, que nos permite pasar del año 4º al año 2º, y por (1+0,10)^-2, para pasar del año 2 al momento inicial).
luego, AMs = 1.185.633 ptas.
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 1.185.633 ptas.
Calculamos ahora la parte de la cuota que corresponde a amortización de principal. Empezamos por la 1ª cuota y para ello hay que conocer previamente el importe de los intereses de este periodo:
I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 5.000.000 * 0,10 * 1
luego, I1 = 500.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 1.185.633-500.000
luego, AM1 = 685.633 ptas.
La amortización de capital del 2º periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
luego, AM2 = AM1 * (1 + i1)
luego, AM2 = 685.633 * (1 + 0,1)
luego, AM2 = 754.196 ptas.
Para la del 3º periodo no se puede aplicar la misma fórmula ya que ha cambiado el tipo de interés. Por lo tanto, hay que comenzar calculando el importe de los intereses de esta cuota:
I3 = S2 * i1 * t
El saldo vivo al final del 2º periodo: S2 = C0 - AM1 - AM2
luego, S2 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196
luego, S2 = 3.560.171 ptas.
Por lo tanto, I3 = 3.560.171 * 0,12 * 1
luego, I3 = 427.221 ptas.
La amortización de capital del 3º periodo será: AM3 = M3 - I3
luego, AM3 = 1.185.633 - 427.221
luego, AM3 = 758.412 ptas.
Para calcular la amortización de capital del 4 año se vuelve a utilizar la fórmula de antes (ya que no cambia el tipo):
AM4 = AM3* (1 + 0,12)
luego, AM4 = 849.421 ptas.
Para la del 5º periodo, como nuevamente cambia el tipo de interés, hay que comenzar calculando los intereses:
I5 = S4 * i5 * t
El saldo vivo al final del 4º periodo: S4 = C0 - AM1 - AM2 - AM3 - AM4
luego, S4 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196 - 758.412 - 849.421
luego, S4 = 1.952.338 ptas.
Por lo tanto, I5 = 1.952.338 * 0,14 * 1
luego, I5 = 273.327 ptas.
La amortización de capital del 5º periodo será: AM5 = M5 - I5
luego, AM5 = 1.185.633 - 273.327
luego, AM5 = 912.311 ptas.
Por último, la amortización de capital del 6º periodo se calcula aplicando nuevamente la formula (ya que no hay cambio de tipo de interés respecto al periodo anterior):
AM6 = AM5* (1 + 0,14)
luego, AM6 = 1.040.035 ptas.
Ya podemos completar el cuadro de amortización:
Periodo-- Saldo --Amortización -Intereses ---Cuota -Capital amortizado
año 0 -5.000.000 ------0 ----------0 --------0 ------------0
año 1 -4.314.367 ---685.633 ---500.000 --1.185.633 ---685.633
año 2 -3.560.171 ---754.196 ---431.437 --1.185.633 --1.439.829
año 3 -2.801.759 ---758.412 ---427.221 --1.185.633 --2.198.241
año 4 -1.952.338 ---849.421 ---336.212 --1.185.633 --3.047.662
año 5 -1.040.035 ---912.311 ---273.327 --1.185.633 --3.959.973
año 6 -----0 ------1.040.035 --145.598 --1.185.633 --5.000.000
Un banco concede un préstamo de 5.000.000 ptas. a 6 años, aplicando un 10% en los 2 primeros años, un 12% en el 3ª y 4ª año, y un 14% en los 2 últimos años.
Calcular el cuadro de cuotas de amortización, suponiendo que el préstamo es del tipo de cuotas constantes.
Solución
Comenzamos calculando el importe de la cuota periódica constante:
Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i)^-2 * A1) + (AMs * (1 + i)^-4 * A2)
(siendo (AMs * Ao) el valor actualizado de las cuotas de los 2 primeros años)
(siendo (AMs * (1 + i)^-2 * A1) el valor actualizado de las cuotas de los años 3º y 4º)
(siendo (AMs * (1 + i)^-4 * A2) el valor actualizado de las cuotas de los años 5º y 6º)
luego, 5.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,10)^-2)/0,1)) + (AMs * (1+0,1)^-2* ((1 - (1+0,12)^-2)/0,12)) + (AMs * (1+0,1)^-2*(1+0,12)^-2 *((1 - (1+0,14)^-2)/0,14))
(Al actualizar las cuotas del 2º tramo, se multiplica por (1+0,1)^-2 para traerlo al momento cero.
En este paréntesis se utiliza el tipo de interés del primer tramo, ya que es el tipo vigente entre el año 2 y el momento inicial).
(Lo mismo ocurre al actualizar el valor de las cuotas del 3º tramo. En este caso se multiplica por (1+0,12)^-2, que nos permite pasar del año 4º al año 2º, y por (1+0,10)^-2, para pasar del año 2 al momento inicial).
luego, AMs = 1.185.633 ptas.
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 1.185.633 ptas.
Calculamos ahora la parte de la cuota que corresponde a amortización de principal. Empezamos por la 1ª cuota y para ello hay que conocer previamente el importe de los intereses de este periodo:
I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 5.000.000 * 0,10 * 1
luego, I1 = 500.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 1.185.633-500.000
luego, AM1 = 685.633 ptas.
La amortización de capital del 2º periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
luego, AM2 = AM1 * (1 + i1)
luego, AM2 = 685.633 * (1 + 0,1)
luego, AM2 = 754.196 ptas.
Para la del 3º periodo no se puede aplicar la misma fórmula ya que ha cambiado el tipo de interés. Por lo tanto, hay que comenzar calculando el importe de los intereses de esta cuota:
I3 = S2 * i1 * t
El saldo vivo al final del 2º periodo: S2 = C0 - AM1 - AM2
luego, S2 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196
luego, S2 = 3.560.171 ptas.
Por lo tanto, I3 = 3.560.171 * 0,12 * 1
luego, I3 = 427.221 ptas.
La amortización de capital del 3º periodo será: AM3 = M3 - I3
luego, AM3 = 1.185.633 - 427.221
luego, AM3 = 758.412 ptas.
Para calcular la amortización de capital del 4 año se vuelve a utilizar la fórmula de antes (ya que no cambia el tipo):
AM4 = AM3* (1 + 0,12)
luego, AM4 = 849.421 ptas.
Para la del 5º periodo, como nuevamente cambia el tipo de interés, hay que comenzar calculando los intereses:
I5 = S4 * i5 * t
El saldo vivo al final del 4º periodo: S4 = C0 - AM1 - AM2 - AM3 - AM4
luego, S4 = 5.000.000 - 685.633 - 754.196 - 758.412 - 849.421
luego, S4 = 1.952.338 ptas.
Por lo tanto, I5 = 1.952.338 * 0,14 * 1
luego, I5 = 273.327 ptas.
La amortización de capital del 5º periodo será: AM5 = M5 - I5
luego, AM5 = 1.185.633 - 273.327
luego, AM5 = 912.311 ptas.
Por último, la amortización de capital del 6º periodo se calcula aplicando nuevamente la formula (ya que no hay cambio de tipo de interés respecto al periodo anterior):
AM6 = AM5* (1 + 0,14)
luego, AM6 = 1.040.035 ptas.
Ya podemos completar el cuadro de amortización:
Periodo-- Saldo --Amortización -Intereses ---Cuota -Capital amortizado
año 0 -5.000.000 ------0 ----------0 --------0 ------------0
año 1 -4.314.367 ---685.633 ---500.000 --1.185.633 ---685.633
año 2 -3.560.171 ---754.196 ---431.437 --1.185.633 --1.439.829
año 3 -2.801.759 ---758.412 ---427.221 --1.185.633 --2.198.241
año 4 -1.952.338 ---849.421 ---336.212 --1.185.633 --3.047.662
año 5 -1.040.035 ---912.311 ---273.327 --1.185.633 --3.959.973
año 6 -----0 ------1.040.035 --145.598 --1.185.633 --5.000.000
Matemáticas Financieras - Lección 44: Préstamos con distintos tipos de interés (II)
b) Préstamos con distintos tipos de interés y devolución de principal constante
En este tipo de préstamos se amortiza el mismo capital en todos los periodos, con independencia del tipo de interés vigente en ese momento.
Ejemplo:
Calcular la amortización de capital constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante:
El importe constante de la amortización de capital se calcula a partir de la fórmula AMs = C0 / n (siendo "n" el número de periodos)
Por lo tanto, AMs = 4.000.000 / 6
luego, AMs = 666.666 ptas.
La amortización anual de capital durante cada uno de los seis años de vida del préstamo va a ser de 666.666 ptas.
Conociendo el importe de la amortización de capital, es inmediato ver la evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Ss = C0 - S AM (es decir, el saldo vivo So es igual al capital inicial menos la suma de las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento)
CAs = S AM (siendo CAs el capital amortizado)
Una vez que sabemos la evolución del saldo vivo, se calcula fácilmente el importe de los intereses de cada cuota:
Is = Ss-1 * i * t
En cada periodo se aplica el tipo de interés vigente en ese momento.
De esta manera se puede completar el cuadro de amortizaciones:
Periodo--Saldo--Amortización--Intereses--Cuota--Capital amortizado
año 0------0 ----4.000.000 --------0 --------0 -------------0
año 1 -3.333.333 666.666 -----360.000 1.026.666 -----666.666
año 2 -2.666.666 666.666 -----300.000 -966.666 -----1.333.333
año 3 -2.000.000 666.666 -----240.000 -906.666 -----2.000.000
año 4 -1.333.333 666.666 -----200.000 -866.666 -----2.666.666
año 5 -666.666 --666.666 -----133.333 -800.000 -----3.333.333
año 6 -----0 ----666.666 ------66.666 --733.333 -----4.000.000
En este tipo de préstamos se amortiza el mismo capital en todos los periodos, con independencia del tipo de interés vigente en ese momento.
Ejemplo:
Calcular la amortización de capital constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante:
El importe constante de la amortización de capital se calcula a partir de la fórmula AMs = C0 / n (siendo "n" el número de periodos)
Por lo tanto, AMs = 4.000.000 / 6
luego, AMs = 666.666 ptas.
La amortización anual de capital durante cada uno de los seis años de vida del préstamo va a ser de 666.666 ptas.
Conociendo el importe de la amortización de capital, es inmediato ver la evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Ss = C0 - S AM (es decir, el saldo vivo So es igual al capital inicial menos la suma de las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento)
CAs = S AM (siendo CAs el capital amortizado)
Una vez que sabemos la evolución del saldo vivo, se calcula fácilmente el importe de los intereses de cada cuota:
Is = Ss-1 * i * t
En cada periodo se aplica el tipo de interés vigente en ese momento.
De esta manera se puede completar el cuadro de amortizaciones:
Periodo--Saldo--Amortización--Intereses--Cuota--Capital amortizado
año 0------0 ----4.000.000 --------0 --------0 -------------0
año 1 -3.333.333 666.666 -----360.000 1.026.666 -----666.666
año 2 -2.666.666 666.666 -----300.000 -966.666 -----1.333.333
año 3 -2.000.000 666.666 -----240.000 -906.666 -----2.000.000
año 4 -1.333.333 666.666 -----200.000 -866.666 -----2.666.666
año 5 -666.666 --666.666 -----133.333 -800.000 -----3.333.333
año 6 -----0 ----666.666 ------66.666 --733.333 -----4.000.000
21 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 43: Préstamos con distintos tipos de interés
En algunos préstamos se establecen distintos tipos de interés según el periodo:
Por ejemplo: 8% durante los dos primeros años, 9% durante el 3º y 4º año, y 10% durante los dos últimos años.
Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el tipo de interés va aumentando a medida que se incrementa el plazo.
Aparte de esta peculiaridad, estos préstamos pueden seguir el desarrollo de algunos de los modelos que hemos analizado (cuotas periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.). Vamos a ver un ejemplo de un préstamo que sigue el modelo de cuotas constantes.
a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes
Supongamos que se han establecido 2 tramos: uno que va desde el inicio hasta el periodo "s", con un tipo de interés "i1", y un segundo tramo que va desde el periodo s+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés "i2". Entonces:
Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
Donde AMs es el valor de la cuota periódica constante y Co es el importe inicial del préstamo
Donde (AMs * Ao) es el valor actualizado del primer tramo (Ao es el valor actual de una renta pospagable, constante, de "s" periodos de duración y con tipo de interés i1)
Donde (AMs * (1 + i1)^-s *A1) es el valor actualizado del segundo tramo (A1 es el valor en el momento "s" de una renta pospagable constante, desde el periodo "s+1" hasta el periodo "n", y con tipo de interés i2)
Como A1 es el valor en el momento "s", hay que actualizarlo hasta el momento 0, de ahí el paréntesis (1 + i1)^-s
Es interesante ver como para descontar este segundo termino hasta el momento "0" se aplica el tipo de interés del primer tramo, ya que es el que está vigente entre el momento 0 y el momento "s"
Ejemplo:
Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante:
Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
luego, 4.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,09)^-3)/0,09)) + (AMs * (1+0,09)^-3* ((1 - (1+0,1)^-3)/ 0,1))
luego, AMs = 898.555 ptas.
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 898.555 ptas.
Para calcular que parte de la cuota periódica corresponde a amortización de capital, procedemos de la siguiente manera:
Se calculan los intereses que incluye la primera cuota y por diferencia, la parte de la cuota que corresponde a devolución de capital:
M1 = AM1 + I1 (es decir, la cuota periódica es la suma de devolución de capital y de pago de intereses). Despejando, AM1 = A1 - I1
I1 lo podemos calcular: I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 4.000.000 * 0,09 * 1
luego, I1 = 360.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 898.555-360.000
luego, AM1 = 538.555 ptas.
Conociendo la devolución de principal del primer periodo se puede calcular el resto de devoluciones de principal aplicando la siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
Lo único que ocurre es que esta ley se cumple mientras no cambia el tipo de interés. En el momento en que se inicia el 2º periodo ya no podemos seguir aplicando esta ley.
Vamos a calcular la devolución del principal del 2º y 3º periodo (no la del 4º porque ya cambia el tipo de interés):
Periodo ----------Devolución de principal
año 2 ----AM2 = AM1 * (1 + 0,09) = 587.025 ptas.
año 3 ----AM3 = AM1 * (1 + 0,09)^2 = 639.857 ptas.
Para calcular la devolución de principal en la 1º cuota del segundo tramo (la correspondiente al 4º año), hay que empezar por calcular los intereses que incluye esa cuota:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
Tenemos todos los datos menos el saldo vivo al final del 3º periodo. Este saldo vivo lo podemos calcular:
Aplicamos la fórmula: S3 = C0 - AM1 - AM2 - AM3
luego, S3 = 4.000.000 - 538.555 - 58.025 - 639.857
luego, S3 = 2.234.563 ptas.
Ya se pueden calcular los intereses del 4º periodo:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
luego, I4 = 2.234.563 * 0,1 * 1
luego, I4 = 223.456 ptas.
Una vez calculado los intereses del 4º periodo, por diferencia podemos calcular la parte de la cuota que corresponde a amortización de capital:
AM4 = A4 - I4
luego, M4 = 898.555 - 223.456
luego, M4 = 675.099 ptas.
El resto de amortizaciones de capital del 2º tramo, se calcula aplicando la formula que conocemos:
AMs = AM4 * (1 + i2)^s-4 (tomamos como punto de partida el año 4)
Por lo tanto:
Periodo --------Devolución de principal
año 5 ----AM5 = AM4 * (1 + 0,10) = 742.609 ptas.
año 6 ----AM6 = AM4 * (1 + 0,10)^2 = 816.870 ptas.
De esta manera, ya conocemos la devolución de principal de todos los periodos. Por diferencia, se calcula la parte de intereses de cada cuota y también es fácil ver como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado.
La tabla de amortización del préstamo quedaría:
Periodo ---Saldo --Amortización -Intereses ---Cuota --Cap. amort.
año 0 ---4.000.000 -------0 -----------0 -----------0 -----------0
año 1 ---3.461.445 ---538.555 ---360.000 ---898.555 ---538.555
año 2 ---2.874.420 ---587.025 ---311.530 ---898.555 --1.125.580
año 3 ---2.234.563 ---639.857 ---258.698 ----98.555 --1.765.437
año 4 ---1.559.464 ---675.099 ---223.456 ---898.555 --2.440.536
año 5 ----816.870 ----742.609 ---155.946 ---898.555 --3.183.145
año 6 --------0 --------816.870 ---81.685 -----898.555 -4.000.000
Por ejemplo: 8% durante los dos primeros años, 9% durante el 3º y 4º año, y 10% durante los dos últimos años.
Suelen ser operaciones a largo plazo, en las que el tipo de interés va aumentando a medida que se incrementa el plazo.
Aparte de esta peculiaridad, estos préstamos pueden seguir el desarrollo de algunos de los modelos que hemos analizado (cuotas periódicas constantes, amortización de principal constante, etc.). Vamos a ver un ejemplo de un préstamo que sigue el modelo de cuotas constantes.
a) Préstamos con distintos tipos de interés y cuotas constantes
Supongamos que se han establecido 2 tramos: uno que va desde el inicio hasta el periodo "s", con un tipo de interés "i1", y un segundo tramo que va desde el periodo s+1 hasta el vencimiento, con un tipo de interés "i2". Entonces:
Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
Donde AMs es el valor de la cuota periódica constante y Co es el importe inicial del préstamo
Donde (AMs * Ao) es el valor actualizado del primer tramo (Ao es el valor actual de una renta pospagable, constante, de "s" periodos de duración y con tipo de interés i1)
Donde (AMs * (1 + i1)^-s *A1) es el valor actualizado del segundo tramo (A1 es el valor en el momento "s" de una renta pospagable constante, desde el periodo "s+1" hasta el periodo "n", y con tipo de interés i2)
Como A1 es el valor en el momento "s", hay que actualizarlo hasta el momento 0, de ahí el paréntesis (1 + i1)^-s
Es interesante ver como para descontar este segundo termino hasta el momento "0" se aplica el tipo de interés del primer tramo, ya que es el que está vigente entre el momento 0 y el momento "s"
Ejemplo:
Calcular la cuota periódica constante y el cuadro de amortización de un préstamo de 4.000.000 ptas., a 6 años, con un tipo de interés del 9% durante los 3 primeros años y del 10% durante los 3 restante:
Aplicamos la fórmula, Co = (AMs * Ao) + (AMs * (1 + i1)^-s *A1)
luego, 4.000.000 = (AMs * ((1 - (1+0,09)^-3)/0,09)) + (AMs * (1+0,09)^-3* ((1 - (1+0,1)^-3)/ 0,1))
luego, AMs = 898.555 ptas.
Por lo tanto, la cuota anual constante durante los 6 años será de 898.555 ptas.
Para calcular que parte de la cuota periódica corresponde a amortización de capital, procedemos de la siguiente manera:
Se calculan los intereses que incluye la primera cuota y por diferencia, la parte de la cuota que corresponde a devolución de capital:
M1 = AM1 + I1 (es decir, la cuota periódica es la suma de devolución de capital y de pago de intereses). Despejando, AM1 = A1 - I1
I1 lo podemos calcular: I1 = Co * i1 * t
luego, I1 = 4.000.000 * 0,09 * 1
luego, I1 = 360.000 ptas.
Por lo tanto, AM1 = 898.555-360.000
luego, AM1 = 538.555 ptas.
Conociendo la devolución de principal del primer periodo se puede calcular el resto de devoluciones de principal aplicando la siguiente fórmula:
AMs = AM1 * (1 + i1)^s-1
Lo único que ocurre es que esta ley se cumple mientras no cambia el tipo de interés. En el momento en que se inicia el 2º periodo ya no podemos seguir aplicando esta ley.
Vamos a calcular la devolución del principal del 2º y 3º periodo (no la del 4º porque ya cambia el tipo de interés):
Periodo ----------Devolución de principal
año 2 ----AM2 = AM1 * (1 + 0,09) = 587.025 ptas.
año 3 ----AM3 = AM1 * (1 + 0,09)^2 = 639.857 ptas.
Para calcular la devolución de principal en la 1º cuota del segundo tramo (la correspondiente al 4º año), hay que empezar por calcular los intereses que incluye esa cuota:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
Tenemos todos los datos menos el saldo vivo al final del 3º periodo. Este saldo vivo lo podemos calcular:
Aplicamos la fórmula: S3 = C0 - AM1 - AM2 - AM3
luego, S3 = 4.000.000 - 538.555 - 58.025 - 639.857
luego, S3 = 2.234.563 ptas.
Ya se pueden calcular los intereses del 4º periodo:
Aplicamos la fórmula: I4 = S3 * i2 * t
luego, I4 = 2.234.563 * 0,1 * 1
luego, I4 = 223.456 ptas.
Una vez calculado los intereses del 4º periodo, por diferencia podemos calcular la parte de la cuota que corresponde a amortización de capital:
AM4 = A4 - I4
luego, M4 = 898.555 - 223.456
luego, M4 = 675.099 ptas.
El resto de amortizaciones de capital del 2º tramo, se calcula aplicando la formula que conocemos:
AMs = AM4 * (1 + i2)^s-4 (tomamos como punto de partida el año 4)
Por lo tanto:
Periodo --------Devolución de principal
año 5 ----AM5 = AM4 * (1 + 0,10) = 742.609 ptas.
año 6 ----AM6 = AM4 * (1 + 0,10)^2 = 816.870 ptas.
De esta manera, ya conocemos la devolución de principal de todos los periodos. Por diferencia, se calcula la parte de intereses de cada cuota y también es fácil ver como evoluciona el saldo vivo y el capital amortizado.
La tabla de amortización del préstamo quedaría:
Periodo ---Saldo --Amortización -Intereses ---Cuota --Cap. amort.
año 0 ---4.000.000 -------0 -----------0 -----------0 -----------0
año 1 ---3.461.445 ---538.555 ---360.000 ---898.555 ---538.555
año 2 ---2.874.420 ---587.025 ---311.530 ---898.555 --1.125.580
año 3 ---2.234.563 ---639.857 ---258.698 ----98.555 --1.765.437
año 4 ---1.559.464 ---675.099 ---223.456 ---898.555 --2.440.536
año 5 ----816.870 ----742.609 ---155.946 ---898.555 --3.183.145
año 6 --------0 --------816.870 ---81.685 -----898.555 -4.000.000
Matemáticas Financieras - Lección 42: Préstamos con períodos de carencia (Ejercicios)
Ejercicio: Un banco concede un préstamo de 8.000.000 ptas., por un plazo de 8 años (3 de ellos de carencia) y tipo de interés fijo del 10%. Una vez cumplido el periodo de carencia, el préstamo se desarrolla con amortización de capital constante.
Calcular las cuotas de amortización de toda la vida del préstamo, suponiendo:
a) Periodo de carencia con pago de intereses
b) Periodo de carencia total
Solución
a) Periodo de carencia con pago de intereses
Durante el periodo de carencia (hasta el final del tercer año), el prestatario pagará los intereses correspondientes:
Ms = Co * i * t (siendo Mo el importe de la cuota periódica)
luego, Ms = 8.000.000 * 0,1 * 1
luego, Ms = 800.000 ptas.
A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con amortización de capital constante:
La amortización del principal se calcula con la fórmula AMs = Co / n
Luego, AMs = 8.000.000 / 5 (se divide por 5, ya que son los años hasta el vencimiento)
Luego, AMs = 1.600.000 ptas.
Para calcular el importe de los intereses periódicos se aplica la siguiente fórmula, Is = Ss-1 * i * t
Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del préstamo:
Periodo -------Saldo vivo -----Intereses
Momento 0 ---8.000.000 ---------0
Año 1 ---------8.000.000 ------800.000
Año 2 ---------8.000.000 -----800.000
Año 3 ---------8.000.000 ------800.000
Año 4 ---------6.400.000 ------800.000
Año 5 ---------4.800.000 ------640.000
Año 6 ---------3.200.000 ------480.000
Año 7 ---------1.600.000 ------380.000
Año 8 --------------0 ------------160.000
La cuota de amortización periódica será Ms = Ams + Is. Luego, ya podemos completar el cuadro con todas las cuotas:
Periodo -Amortización --Intereses ---Cuota
Año 1 ----------0 ----------800.000 ---800.000
Año 2 ----------0 ----------800.000 ---800.000
Año 3 ----------0 ----------800.000 ---800.000
Año 4 ----1.600.000 ------800.000 --2.400.000
Año 5 ----1.600.000 ------640.000 --2.240.000
Año 6 ----1.600.000 ------480.000 --2.080.000
Año 7 ----1.600.000 ------320.000 --1.920.000
Año 8 ----1.600.000 ------160.000 --1.760.000
b) Periodo de carencia total
Durante los tres primeros años del préstamo no se pagan intereses, por lo que estos se van acumulando al importe del principal.
Al final de estos 3 años, el importe acumulado de los intereses ascenderá:
I = Co * ((1 + i)^3 -1) (siendo I el importe acumulado de los intereses)
luego, I = 8.000.000 * ((1 + 0,1)^3 -1)
luego, I = 2.648.000 ptas.
Por lo tanto, el importe del principal del préstamo al final del 3º años, será:
Cd = Co + I (siendo Cd el importe del principal al final del periodo de carencia)
luego, Cd = 8.000.000 + 2.648.000
luego, Cd = 10.648.000 ptas.
A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con amortización de capital constante:
Luego, AMs = 10.648.000 / 5
Luego, AMs = 2.129.600 ptas.
Para calcular el importe que suponen los intereses periódicos se aplica la fórmula, Is = Ss-1 * i * t
Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del préstamo:
Periodo ------Saldo vivo ----Intereses
Momento 0 --8.000.000 ---------0
Año 1 --------8.800.000 ---------0
Año 2 --------9.680.000 ---------0
Año 3 -------10.648.000 ---------0
Año 4 --------8.518.400 ----1.064.800
Año 5 --------6.388.800 -----851.840
Año 6 --------4.259.200 -----638.880
Año 7 --------2.129.600 -----425.920
Año 8 -------------0 -----------212.960
Y la cuota de amortización periódica será Ms = AMs + Is. El cuadro con todas las cuotas será:
Periodo --Amortización ---Intereses ----Cuota
Año 1 -----------0 ---------------0 -----------0
Año 2 -----------0 ---------------0 -----------0
Año 3 -----------0 ---------------0 -----------0
Año 4 ------2.169.600 -----1.064.800 --3.194.400
Año 5 ------2.169.600 ------851.840 ---2.981.440
Año 6 ------2.169.600 ------638.880 ---2.768.480
Año 7 ------2.169.600 ------425.920 ---2.555.520
Año 8 ------2.169.600 ------212.960 ---2.342.560
Calcular las cuotas de amortización de toda la vida del préstamo, suponiendo:
a) Periodo de carencia con pago de intereses
b) Periodo de carencia total
Solución
a) Periodo de carencia con pago de intereses
Durante el periodo de carencia (hasta el final del tercer año), el prestatario pagará los intereses correspondientes:
Ms = Co * i * t (siendo Mo el importe de la cuota periódica)
luego, Ms = 8.000.000 * 0,1 * 1
luego, Ms = 800.000 ptas.
A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con amortización de capital constante:
La amortización del principal se calcula con la fórmula AMs = Co / n
Luego, AMs = 8.000.000 / 5 (se divide por 5, ya que son los años hasta el vencimiento)
Luego, AMs = 1.600.000 ptas.
Para calcular el importe de los intereses periódicos se aplica la siguiente fórmula, Is = Ss-1 * i * t
Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del préstamo:
Periodo -------Saldo vivo -----Intereses
Momento 0 ---8.000.000 ---------0
Año 1 ---------8.000.000 ------800.000
Año 2 ---------8.000.000 -----800.000
Año 3 ---------8.000.000 ------800.000
Año 4 ---------6.400.000 ------800.000
Año 5 ---------4.800.000 ------640.000
Año 6 ---------3.200.000 ------480.000
Año 7 ---------1.600.000 ------380.000
Año 8 --------------0 ------------160.000
La cuota de amortización periódica será Ms = Ams + Is. Luego, ya podemos completar el cuadro con todas las cuotas:
Periodo -Amortización --Intereses ---Cuota
Año 1 ----------0 ----------800.000 ---800.000
Año 2 ----------0 ----------800.000 ---800.000
Año 3 ----------0 ----------800.000 ---800.000
Año 4 ----1.600.000 ------800.000 --2.400.000
Año 5 ----1.600.000 ------640.000 --2.240.000
Año 6 ----1.600.000 ------480.000 --2.080.000
Año 7 ----1.600.000 ------320.000 --1.920.000
Año 8 ----1.600.000 ------160.000 --1.760.000
b) Periodo de carencia total
Durante los tres primeros años del préstamo no se pagan intereses, por lo que estos se van acumulando al importe del principal.
Al final de estos 3 años, el importe acumulado de los intereses ascenderá:
I = Co * ((1 + i)^3 -1) (siendo I el importe acumulado de los intereses)
luego, I = 8.000.000 * ((1 + 0,1)^3 -1)
luego, I = 2.648.000 ptas.
Por lo tanto, el importe del principal del préstamo al final del 3º años, será:
Cd = Co + I (siendo Cd el importe del principal al final del periodo de carencia)
luego, Cd = 8.000.000 + 2.648.000
luego, Cd = 10.648.000 ptas.
A partir del 4º año, el préstamo tendrá un desarrollo normal, con amortización de capital constante:
Luego, AMs = 10.648.000 / 5
Luego, AMs = 2.129.600 ptas.
Para calcular el importe que suponen los intereses periódicos se aplica la fórmula, Is = Ss-1 * i * t
Para ello, vamos a ir viendo como evoluciona el saldo vivo del préstamo:
Periodo ------Saldo vivo ----Intereses
Momento 0 --8.000.000 ---------0
Año 1 --------8.800.000 ---------0
Año 2 --------9.680.000 ---------0
Año 3 -------10.648.000 ---------0
Año 4 --------8.518.400 ----1.064.800
Año 5 --------6.388.800 -----851.840
Año 6 --------4.259.200 -----638.880
Año 7 --------2.129.600 -----425.920
Año 8 -------------0 -----------212.960
Y la cuota de amortización periódica será Ms = AMs + Is. El cuadro con todas las cuotas será:
Periodo --Amortización ---Intereses ----Cuota
Año 1 -----------0 ---------------0 -----------0
Año 2 -----------0 ---------------0 -----------0
Año 3 -----------0 ---------------0 -----------0
Año 4 ------2.169.600 -----1.064.800 --3.194.400
Año 5 ------2.169.600 ------851.840 ---2.981.440
Año 6 ------2.169.600 ------638.880 ---2.768.480
Año 7 ------2.169.600 ------425.920 ---2.555.520
Año 8 ------2.169.600 ------212.960 ---2.342.560
Matemáticas Financieras - Lección 41: Préstamos con Período de Carencia
En algunos préstamos se pacta un periodo inicial de carencia, con el que se pretende conceder al prestatario un plazo para que la inversión que ha financiado con dicho préstamo comience a generar ingresos con los que poder hacer frente a la amortización del mismo.
El periodo de carencia puede ser de dos tipos:
a) Carencia en la amortización del capital, aunque haciendo frente al pago de intereses.
b) Carencia total. El prestatario no realiza ningún pago durante este periodo.
A.- CARENCIA EN LA AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL
Durante el periodo de carencia, el prestatario paga cuotas constantes equivalentes a la liquidación de los intereses periódicos:
Ms = Co * i * t
(Siendo Co el importe del capital inicial del préstamo)
Una vez finalizado este periodo, el préstamo se desarrolla como un préstamo normal (del tipo que sea: cuota constante, amortización al vencimiento, etc).
Ejemplo: un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a un plazo de 5 años, con pagos semestrales y tipo de interés del 8%. Se conceden 2 años de carencia, durante el cual sólo se pagan intereses. Transcurrido este periodo, el préstamo se amortiza con cuotas constantes.
a) calcular las cuotas que se pagan durante el periodo de carencia.
Se aplica la fórmula (Ms = Co * i * t), pero, primero, se calcula el tipo de interés semestral equivalente:
1 + i = (1 + i2)^2
luego, i2 = 3,923%
Luego, Ms = 10.000.000 * 0,03923 * 1
Luego, Ms = 392.300 ptas.
Por lo tanto, durante el periodo de carencia el prestatario tendrá que pagar cuotas semestrales de 392.300 ptas., correspondientes a los intereses.
b) Transcurrido los 2 primeros años, el préstamo tendrá un desarrollo normal
Luego, Co = Ms * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta pospagable de 6 semestres de duración, con un tipo de interés del 3,923%)
Despejando, Ms = Co / Ao
Ao = (1 - (1 + 0,03923)^-6) / 0,03923
Luego, Ao = 5,2553
Por lo tanto, Ms = 10.000.000 / 5,2553
Luego, Ms = 1.902.840 ptas.
La cuota semestral constante que se tendrá que pagar cada semestre, tras el periodo de carencia y hasta el vencimiento, será de 1.902.840 ptas.
B.- CARENCIA TOTAL
En este supuesto, el prestatario no realiza ningún pago durante el periodo de carencia, por lo que el importe del principal irá aumentando, acumulando los interese de este periodo.
Ejemplo: continuamos con el supuesto anterior, suponiendo que hay carencia total de pago.
a) Importe del principal al finalizar los dos años de carencia
Cd = Co * (1 + i2 )^4 (siendo "Cd" el importe del préstamo tras el periodo de carencia)
luego, Cd = 10.000.000 * ( 1 + 0,03923)^4
luego, Cd = 11.663.978 ptas.
Por lo tanto, transcurrido el periodo de carencia, el importe del préstamo asciende a 11.663.978 ptas.
b) Desarrollo normal del prestamos (durante los 3 años que van desde el final del periodo de carencia hasta el vencimiento del préstamo)
En este periodo, el prestatario tendrá que hacer frente a cuotas semestrales constantes:
Luego, Ms = 11.663.978 / 5,2553
Luego, Ms = 2.219.468 ptas.
El periodo de carencia puede ser de dos tipos:
a) Carencia en la amortización del capital, aunque haciendo frente al pago de intereses.
b) Carencia total. El prestatario no realiza ningún pago durante este periodo.
A.- CARENCIA EN LA AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL
Durante el periodo de carencia, el prestatario paga cuotas constantes equivalentes a la liquidación de los intereses periódicos:
Ms = Co * i * t
(Siendo Co el importe del capital inicial del préstamo)
Una vez finalizado este periodo, el préstamo se desarrolla como un préstamo normal (del tipo que sea: cuota constante, amortización al vencimiento, etc).
Ejemplo: un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a un plazo de 5 años, con pagos semestrales y tipo de interés del 8%. Se conceden 2 años de carencia, durante el cual sólo se pagan intereses. Transcurrido este periodo, el préstamo se amortiza con cuotas constantes.
a) calcular las cuotas que se pagan durante el periodo de carencia.
Se aplica la fórmula (Ms = Co * i * t), pero, primero, se calcula el tipo de interés semestral equivalente:
1 + i = (1 + i2)^2
luego, i2 = 3,923%
Luego, Ms = 10.000.000 * 0,03923 * 1
Luego, Ms = 392.300 ptas.
Por lo tanto, durante el periodo de carencia el prestatario tendrá que pagar cuotas semestrales de 392.300 ptas., correspondientes a los intereses.
b) Transcurrido los 2 primeros años, el préstamo tendrá un desarrollo normal
Luego, Co = Ms * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta pospagable de 6 semestres de duración, con un tipo de interés del 3,923%)
Despejando, Ms = Co / Ao
Ao = (1 - (1 + 0,03923)^-6) / 0,03923
Luego, Ao = 5,2553
Por lo tanto, Ms = 10.000.000 / 5,2553
Luego, Ms = 1.902.840 ptas.
La cuota semestral constante que se tendrá que pagar cada semestre, tras el periodo de carencia y hasta el vencimiento, será de 1.902.840 ptas.
B.- CARENCIA TOTAL
En este supuesto, el prestatario no realiza ningún pago durante el periodo de carencia, por lo que el importe del principal irá aumentando, acumulando los interese de este periodo.
Ejemplo: continuamos con el supuesto anterior, suponiendo que hay carencia total de pago.
a) Importe del principal al finalizar los dos años de carencia
Cd = Co * (1 + i2 )^4 (siendo "Cd" el importe del préstamo tras el periodo de carencia)
luego, Cd = 10.000.000 * ( 1 + 0,03923)^4
luego, Cd = 11.663.978 ptas.
Por lo tanto, transcurrido el periodo de carencia, el importe del préstamo asciende a 11.663.978 ptas.
b) Desarrollo normal del prestamos (durante los 3 años que van desde el final del periodo de carencia hasta el vencimiento del préstamo)
En este periodo, el prestatario tendrá que hacer frente a cuotas semestrales constantes:
Luego, Ms = 11.663.978 / 5,2553
Luego, Ms = 2.219.468 ptas.
20 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 40: Préstamos con amortización única al vencimiento (Método Americano Simple)
Este tipo de préstamos se caracteriza por:
a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo.
b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo.
En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n-1) serán:
Ms = Is
Los intereses de cada periodo se calculan:
Is = Ss-1 * i * t
(Siendo Ss-1 el saldo vivo al final del periodo anterior)
La última cuota de amortización será:
Mn = Co + In
(Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del último periodo)
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 3.000.000 ptas., según el método americano simple, con un tipo de interés del 15% y a un plazo de 5 años:
Calcular:
a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica.
b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo.
SOLUCION
a) Importe de los intereses y de la cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Periodo --Intereses --Amortización capital --Cuota
1 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
2 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
3 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
4 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
5 ---------450.000 ---------3.000.000 -------3.450.000
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo ---Saldo vivo ----Capital amortizado
0 -----------3.000.000 ---------------0
1 -----------3.000.000 ---------------0
2 -----------3.000.000 ---------------0
3 -----------3.000.000 ---------------0
4 -----------3.000.000 ---------------0
5 ----------------0 ---------------3.000.000
a) Sólo se realiza una amortización de capital al vencimiento del préstamo, por el total del mismo.
b) En las demás cuotas periódicas tan sólo se pagan los intereses del periodo.
En este tipo de préstamos, las cuotas periódicas hasta el periodo (n-1) serán:
Ms = Is
Los intereses de cada periodo se calculan:
Is = Ss-1 * i * t
(Siendo Ss-1 el saldo vivo al final del periodo anterior)
La última cuota de amortización será:
Mn = Co + In
(Siendo Co el capital inicial del préstamo y In los intereses del último periodo)
Ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 3.000.000 ptas., según el método americano simple, con un tipo de interés del 15% y a un plazo de 5 años:
Calcular:
a) Importe de los intereses en cada periodo y de la cuota periódica.
b) Saldo vivo y capital amortizado a lo largo de la vida del préstamo.
SOLUCION
a) Importe de los intereses y de la cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Periodo --Intereses --Amortización capital --Cuota
1 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
2 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
3 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
4 ---------450.000 --------------0 --------------450.000
5 ---------450.000 ---------3.000.000 -------3.450.000
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo ---Saldo vivo ----Capital amortizado
0 -----------3.000.000 ---------------0
1 -----------3.000.000 ---------------0
2 -----------3.000.000 ---------------0
3 -----------3.000.000 ---------------0
4 -----------3.000.000 ---------------0
5 ----------------0 ---------------3.000.000
Matemáticas Financieras - Lección 39: Préstamos con amortización de capital constante (Ejercicio)
EJERCICIO
Un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a 4 años, con cuotas semestrales, y con un tipo de interés anual del 12%. La amortización de capital es constante durante toda la vida del préstamo.
Calcular:
a) El importe constante de la amortización de capital
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
c) Importe de los intereses en cada periodo
d) Importe de la cuota en cada periodo
SOLUCION
a) Importe constante de la amortización de capital:
Aplicamos la fórmula AMs = Co / n
luego, AMs = 10.000.000 / 8 (el plazo lo ponemos en base semestral)
luego, AMs = 1.250.000
Por lo tanto, la amortización de capital en cada semestre es de 1.250.000 ptas.
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo --Saldo vivo --Capital amortizado
0 --------10.000.000 -------------0
1 ---------8.750.000 --------1.250.000
2 ---------7.500.000 --------2.500.000
3 ---------6.250.000 --------3.750.000
4 ---------5.000.000 --------5.000.000
5 ---------3.750.000 --------6.250.000
6 ---------2.500.000 --------7.500.000
7 ---------1.250.000 --------8.750.000
8 --------------0 ------------10.000.000
c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Pero, primero, tenemos que calcular el tipo semestral equivalente:
Aplicamos la fórmula 1 + i = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Periodo -----Intereses
1 -------------583.000
2 -------------510.125
3 -------------437.250
4 -------------364.375
5 -------------291.500
6 -------------218.625
7 -------------145.750
8 --------------72.875
d) Cuotas periódicas:
Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is
Periodo ----- Cuota
1 -----------1.833.000
2 -----------1.760.125
3 -----------1.687.250
4 -----------1.614.375
5 -----------1.541.500
6 -----------1.468.625
7 -----------1.395.750
8 -----------1.322.875
Un banco concede un préstamo de 10.000.000 ptas., a 4 años, con cuotas semestrales, y con un tipo de interés anual del 12%. La amortización de capital es constante durante toda la vida del préstamo.
Calcular:
a) El importe constante de la amortización de capital
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
c) Importe de los intereses en cada periodo
d) Importe de la cuota en cada periodo
SOLUCION
a) Importe constante de la amortización de capital:
Aplicamos la fórmula AMs = Co / n
luego, AMs = 10.000.000 / 8 (el plazo lo ponemos en base semestral)
luego, AMs = 1.250.000
Por lo tanto, la amortización de capital en cada semestre es de 1.250.000 ptas.
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo --Saldo vivo --Capital amortizado
0 --------10.000.000 -------------0
1 ---------8.750.000 --------1.250.000
2 ---------7.500.000 --------2.500.000
3 ---------6.250.000 --------3.750.000
4 ---------5.000.000 --------5.000.000
5 ---------3.750.000 --------6.250.000
6 ---------2.500.000 --------7.500.000
7 ---------1.250.000 --------8.750.000
8 --------------0 ------------10.000.000
c ) Importe de los intereses en cada cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Pero, primero, tenemos que calcular el tipo semestral equivalente:
Aplicamos la fórmula 1 + i = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Periodo -----Intereses
1 -------------583.000
2 -------------510.125
3 -------------437.250
4 -------------364.375
5 -------------291.500
6 -------------218.625
7 -------------145.750
8 --------------72.875
d) Cuotas periódicas:
Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is
Periodo ----- Cuota
1 -----------1.833.000
2 -----------1.760.125
3 -----------1.687.250
4 -----------1.614.375
5 -----------1.541.500
6 -----------1.468.625
7 -----------1.395.750
8 -----------1.322.875
18 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 38: Préstamos con amortización de capital constante
Este tipo de préstamo se caracteriza porque la amortización de capital es constante en todas las cuotas del préstamo. También, y a efectos de simplificar, vamos a considerar que el tipo de interés es constante durante toda la operación, aunque este requisito no es necesario.
En este tipo de préstamo se calcula fácilmente el importe de la amortización de capital constante, basta con dividir el importe del préstamo por el número de periodos.
AMs = Co / n
(Siendo "Co" el importe del préstamo y "n" el número de periodos)
Una vez conocido el importe de la amortización constante de capital, se puede conocer como evoluciona el saldo vivo del préstamo, así como el capital amortizado:
Ss= Co - S AMk
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento
CAs = S AMk
Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"
Para calcular la cuota periódica del préstamo partimos de la fórmula:
Ms = AMs + Is
(Siendo "Ms" la cuota correspondiente al periodo "s" y "Is" el importe de los intereses de dicho periodo)
Como ya conocemos AMs, sólo nos falta calcular el importe de los intereses para poder conocer el importe de la cuota periódica. El importe de los intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Is = Ss-1 * i * t
(Siendo "Is" los intereses del periodo "s", "Ss-1" el saldo vivo al final del periodo anterior; "i" el tipo de interés aplicado y "t" la duración del periodo)
Las cuotas periódicas de este tipo de préstamo son decrecientes, ya que mientras que la parte correspondiente a amortización de capital es constante, los intereses van disminuyendo, ya que el saldo vivo se va reduciendo.
Veamos un ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 7.000.000 ptas., a un plazo de 7 años, con un tipo de interés constante del 10%. En las cuotas periódicas, la amortización de capital es constante durante toda la vida de la operación.
Calcular:
a) Importe de la amortización de capital constante
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
c) Importe de los intereses
d) Cuota de amortización
SOLUCION
a) Importe correspondiente a la devolución de principal:
Aplicamos la fórmula AMs = Co / n
luego, AMs = 7.000.000 / 7
luego, AMs = 1.000.000
Por lo tanto, la amortización de capital en cada periodo, durante toda la operación, es de 1.000.000 ptas.
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo ---Saldo vivo ----Capital amortizado
0 ----------7.000.000 ---------------0
1 ----------6.000.000 ---------1.000.000
2 ----------5.000.000 ---------2.000.000
3 ----------4.000.000 ---------3.000.000
4 ----------3.000.000 ---------4.000.000
5 ----------2.000.000 ---------5.000.000
6 ----------1.000.000 ---------6.000.000
7 ---------------0 --------------7.000.000
c) Importe de los intereses en cada cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Periodo Intereses
1 --------700.000
2 --------600.000
3 --------500.000
4 --------400.000
5 --------300.000
6 --------200.000
7 --------100.000
d) Cuotas periódicas:
Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is
Periodo ---Cuota
1 --------1.700.000
2 --------1.600.000
3 --------1.500.000
4 --------1.400.000
5 --------1.300.000
6 --------1.200.000
7 --------1.100.000
En este tipo de préstamo se calcula fácilmente el importe de la amortización de capital constante, basta con dividir el importe del préstamo por el número de periodos.
AMs = Co / n
(Siendo "Co" el importe del préstamo y "n" el número de periodos)
Una vez conocido el importe de la amortización constante de capital, se puede conocer como evoluciona el saldo vivo del préstamo, así como el capital amortizado:
Ss= Co - S AMk
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento
CAs = S AMk
Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"
Para calcular la cuota periódica del préstamo partimos de la fórmula:
Ms = AMs + Is
(Siendo "Ms" la cuota correspondiente al periodo "s" y "Is" el importe de los intereses de dicho periodo)
Como ya conocemos AMs, sólo nos falta calcular el importe de los intereses para poder conocer el importe de la cuota periódica. El importe de los intereses de cada periodo se calcula aplicando la siguiente fórmula:
Is = Ss-1 * i * t
(Siendo "Is" los intereses del periodo "s", "Ss-1" el saldo vivo al final del periodo anterior; "i" el tipo de interés aplicado y "t" la duración del periodo)
Las cuotas periódicas de este tipo de préstamo son decrecientes, ya que mientras que la parte correspondiente a amortización de capital es constante, los intereses van disminuyendo, ya que el saldo vivo se va reduciendo.
Veamos un ejemplo:
Un banco concede un préstamo de 7.000.000 ptas., a un plazo de 7 años, con un tipo de interés constante del 10%. En las cuotas periódicas, la amortización de capital es constante durante toda la vida de la operación.
Calcular:
a) Importe de la amortización de capital constante
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
c) Importe de los intereses
d) Cuota de amortización
SOLUCION
a) Importe correspondiente a la devolución de principal:
Aplicamos la fórmula AMs = Co / n
luego, AMs = 7.000.000 / 7
luego, AMs = 1.000.000
Por lo tanto, la amortización de capital en cada periodo, durante toda la operación, es de 1.000.000 ptas.
b) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado:
Periodo ---Saldo vivo ----Capital amortizado
0 ----------7.000.000 ---------------0
1 ----------6.000.000 ---------1.000.000
2 ----------5.000.000 ---------2.000.000
3 ----------4.000.000 ---------3.000.000
4 ----------3.000.000 ---------4.000.000
5 ----------2.000.000 ---------5.000.000
6 ----------1.000.000 ---------6.000.000
7 ---------------0 --------------7.000.000
c) Importe de los intereses en cada cuota periódica:
Aplicamos la fórmula Is = Ss-1 * i * t
Periodo Intereses
1 --------700.000
2 --------600.000
3 --------500.000
4 --------400.000
5 --------300.000
6 --------200.000
7 --------100.000
d) Cuotas periódicas:
Aplicamos la fórmula Ms = AMs + Is
Periodo ---Cuota
1 --------1.700.000
2 --------1.600.000
3 --------1.500.000
4 --------1.400.000
5 --------1.300.000
6 --------1.200.000
7 --------1.100.000
17 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 37: Préstamos con cuotas de amortización constantes (Ejercicios)
Ejercicio 1: Una entidad financiera concede un préstamo de 6.000.000 ptas., por un plazo de 5 años, con cuotas de amortización semestrales y con un tipo de interés anual del 12%.
Calcular:
a) Cuota constante de amortización
b) Importe que corresponde a la amortización de capital y a los intereses
c) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
SOLUCION
1.- Cuota constante de amortización
Primero se calcula el tipo semestral equivalente:
(1 + i) = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Una vez conocido el tipo semestral, pasamos a calcular el valor de Ao (valor actual de una renta unitaria, pospagable, de 10 semestre de duración, con un tipo de interés semestral del 5,83%)
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,0,583)^-10)/ 0,0583
luego, Ao = 7,4197
A continuación se calcula el valor de la cuota constante
luego, M = 6.000.000 / 7,4197
luego, M = 808.655 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 808.655 ptas.
2.- Parte de la cuota correspondiente a amortización de principal y a intereses:
Comenzamos calculando la amortización de capital correspondiente al primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 6.000.000 * 0,0583 * 1
luego, I1 = 349.800 ptas.
Ya podemos despejar AM1 de la fórmula AM1 = M1 - I1
luego, AM1 = 808.655 - 349.800
luego, AM1 = 458.855 ptas.
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k-1
También vamos a calcular el importe que representan los intereses dentro de cada cuota:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms - AMs
Periodo -----Amort. de capital -----Intereses
1º semestre ---458.855 ------------349.800
2º semestre ---485.606 ----------- 323.049
3º semestre ---513.917 ------------294.738
4º semestre ---543.878 ------------264.777
5º semestre ---575.587 ----------- 233.068
6º semestre ---609.139------------199.512
7º semestre ---644.656 ----------- 163.999
8º semestre ---682.240 ----------- 126.415
9º semestre ---722.014 ------------86.641
10º semestre --764.108 ------------44.547
Suma --------- 6.000.000
La suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo. Por otra parte, la suma en cada periodo de la parte de amortización de capital y de los intereses coincide con el importe de la cuota constante.
3.- Saldo vivo del préstamo y capital ya amortizado en cada periodo:
Se aplican las fórmulas:
Ss= Co - S Ak
CAs = S Ak
Periodo ------Saldo vivo ---Capital amortizado
Periodo 0 ---6.000.000 --------------0
1º semestre 5.541.145 ----------458.855
2º semestre 5.055.539 ----------944.461
3º semestre 4.541.622 ---------1.458.378
4º semestre 3.997.744 ---------2.002.256
5º semestre 3.422.157 ---------2.577.843
6º semestre 2.813.014 ---------3.186.986
7º semestre 2.168.358 ---------3.831.642
8º semestre 1.486.118 ---------4.513.882
9º semestre 764.108 -----------5.235.896
10º semestre ----0 -------------6.000.000
Calcular:
a) Cuota constante de amortización
b) Importe que corresponde a la amortización de capital y a los intereses
c) Evolución del saldo vivo y del capital amortizado
SOLUCION
1.- Cuota constante de amortización
Primero se calcula el tipo semestral equivalente:
(1 + i) = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
Una vez conocido el tipo semestral, pasamos a calcular el valor de Ao (valor actual de una renta unitaria, pospagable, de 10 semestre de duración, con un tipo de interés semestral del 5,83%)
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,0,583)^-10)/ 0,0583
luego, Ao = 7,4197
A continuación se calcula el valor de la cuota constante
luego, M = 6.000.000 / 7,4197
luego, M = 808.655 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 808.655 ptas.
2.- Parte de la cuota correspondiente a amortización de principal y a intereses:
Comenzamos calculando la amortización de capital correspondiente al primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 6.000.000 * 0,0583 * 1
luego, I1 = 349.800 ptas.
Ya podemos despejar AM1 de la fórmula AM1 = M1 - I1
luego, AM1 = 808.655 - 349.800
luego, AM1 = 458.855 ptas.
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k-1
También vamos a calcular el importe que representan los intereses dentro de cada cuota:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms - AMs
Periodo -----Amort. de capital -----Intereses
1º semestre ---458.855 ------------349.800
2º semestre ---485.606 ----------- 323.049
3º semestre ---513.917 ------------294.738
4º semestre ---543.878 ------------264.777
5º semestre ---575.587 ----------- 233.068
6º semestre ---609.139------------199.512
7º semestre ---644.656 ----------- 163.999
8º semestre ---682.240 ----------- 126.415
9º semestre ---722.014 ------------86.641
10º semestre --764.108 ------------44.547
Suma --------- 6.000.000
La suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo. Por otra parte, la suma en cada periodo de la parte de amortización de capital y de los intereses coincide con el importe de la cuota constante.
3.- Saldo vivo del préstamo y capital ya amortizado en cada periodo:
Se aplican las fórmulas:
Ss= Co - S Ak
CAs = S Ak
Periodo ------Saldo vivo ---Capital amortizado
Periodo 0 ---6.000.000 --------------0
1º semestre 5.541.145 ----------458.855
2º semestre 5.055.539 ----------944.461
3º semestre 4.541.622 ---------1.458.378
4º semestre 3.997.744 ---------2.002.256
5º semestre 3.422.157 ---------2.577.843
6º semestre 2.813.014 ---------3.186.986
7º semestre 2.168.358 ---------3.831.642
8º semestre 1.486.118 ---------4.513.882
9º semestre 764.108 -----------5.235.896
10º semestre ----0 -------------6.000.000
16 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 36: Préstamos con cuotas de amortización constantes (Método Francés)
Este tipo de préstamo se caracteriza por tener cuotas de amortización constante a lo largo de la vida del préstamo. También se considera que el tipo de interés es único durante toda la operación.
El flujo de capitales del préstamo será:
ns MS"
Periodo --- Prestamo ------- Cuotas de amortización
año 0 ------- + Co
año 1 ---------------------------------- - M
año 2 ---------------------------------- - M
...
año (n-2) ----------------------------- - M
año (n-1) ----------------------------- - M
año (n) ------------------------------- - M
Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de la cuota de amortización
El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a la de una renta constante, temporal, pospagable.
luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta unitaria pospagable, de duración igual a la del préstamo)
luego, Co = M * (1 - (1 + i)^-n)/ i
Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de la amortización:
M = Co / Ao
Ejemplo: Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de 3.000.000 ptas. a plazo de 5 años, con un tipo de interés del 10%.
Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta constante, pospagable, de 5 años de duración):
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,1)^-5)/ 0,1
luego, Ao = 3,7908
Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota constante
luego, M = 3.000.000 / 3,7908
luego, M = 791.392 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392 ptas.
Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que parte de misma corresponde a amortización de principal y que parte corresponde a intereses:
a) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 3.000.000 * 0,1 * 1
luego, I1 = 300.000 ptas.
Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs - Is
luego, AMs = Ms- Is
luego, AM1 = 791.392 - 300.000
luego, AM1 = 491.392 ptas.
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k-1
Por lo tanto:
--------------------------------Amort. de capital
AM1 --------491.392 ------------ 491.392
AM2 ----491.392 * (1,1) ------ 540.531
AM3 --491.392 * (1,1)^2 ------594.584
AM4 --491.392 * (1,1)^3 ------654.043
AM5 --491.392 * (1,1)^4 ------719.447
Suma --------------------------- 3.000.000
Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo.
El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se calcula de manera inmediata, ya que:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms - AMs
Por lo tanto:
Periodo ----- Ms ----- AMs ------Is
1--------- 791.392 491.392 300.000
2 ---------791.392 540.531 250.861
3 ---------791.392 594.584 196.808
4 ---------791.392 654.043 137.349
5 ---------791.392 719.447 71.945
Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el saldo vivo del préstamo en cada periodo, así como el capital ya amortizado:
Ss= Co - S AMk
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento
CAs = S AMk
Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"
Luego:
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
0 -------- 3.000.000 -----------0
1 --------2.508.608 --------491.392
2 --------1.968.077 -------1.031.923
3 --------1.373.493 -------1.626.507
4 ---------719.450 --------2.280.550
5 ------------0 -------------3.000.000
El flujo de capitales del préstamo será:
ns MS"
Periodo --- Prestamo ------- Cuotas de amortización
año 0 ------- + Co
año 1 ---------------------------------- - M
año 2 ---------------------------------- - M
...
año (n-2) ----------------------------- - M
año (n-1) ----------------------------- - M
año (n) ------------------------------- - M
Siendo Co el importe del préstamo y M el importe constante de la cuota de amortización
El valor actual de las cuotas de amortización sigue una estructura similar a la de una renta constante, temporal, pospagable.
luego, Co = M * Ao (siendo Ao el valor actual de una renta unitaria pospagable, de duración igual a la del préstamo)
luego, Co = M * (1 - (1 + i)^-n)/ i
Por lo que se puede calcular fácilmente el importe de la cuota constante de la amortización:
M = Co / Ao
Ejemplo: Calcular la cuota constante de amortización de un préstamo de 3.000.000 ptas. a plazo de 5 años, con un tipo de interés del 10%.
Calculamos el valor de Ao (valor actualiza de una renta constante, pospagable, de 5 años de duración):
Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i
luego, Ao = (1 - (1 + 0,1)^-5)/ 0,1
luego, Ao = 3,7908
Una vez conocido el valor de Ao, se calcula el valor de la cuota constante
luego, M = 3.000.000 / 3,7908
luego, M = 791.392 ptas.
Por lo tanto, la cuota constante anual se eleva a 791.392 ptas.
Una vez que se conoce el importe de la cuota constante, podemos ver que parte de misma corresponde a amortización de principal y que parte corresponde a intereses:
a) Amortización de Principal: Calculamos la correspondiente al primer periodo
Sabemos que I1 = Co * i * t
luego, I1 = 3.000.000 * 0,1 * 1
luego, I1 = 300.000 ptas.
Ya podemos despejar As de la fórmula Ms = AMs - Is
luego, AMs = Ms- Is
luego, AM1 = 791.392 - 300.000
luego, AM1 = 491.392 ptas.
El resto de las amortizaciones de capital se pueden calcular aplicando la siguiente fórmula:
AMk = AM1 * (1 + i)^k-1
Por lo tanto:
--------------------------------Amort. de capital
AM1 --------491.392 ------------ 491.392
AM2 ----491.392 * (1,1) ------ 540.531
AM3 --491.392 * (1,1)^2 ------594.584
AM4 --491.392 * (1,1)^3 ------654.043
AM5 --491.392 * (1,1)^4 ------719.447
Suma --------------------------- 3.000.000
Se comprueba como la suma de todas las amortizaciones de capital coincide con el importe inicial del préstamo.
El importe que representan los intereses dentro de cada cuota de amortización se calcula de manera inmediata, ya que:
Partiendo de la fórmula Ms = AMs + Is
se despeja Is = Ms - AMs
Por lo tanto:
Periodo ----- Ms ----- AMs ------Is
1--------- 791.392 491.392 300.000
2 ---------791.392 540.531 250.861
3 ---------791.392 594.584 196.808
4 ---------791.392 654.043 137.349
5 ---------791.392 719.447 71.945
Conociendo el importe de las amortizaciones de principal, se calcula fácilmente el saldo vivo del préstamo en cada periodo, así como el capital ya amortizado:
Ss= Co - S AMk
Siendo Ss el saldo vivo en el momento "s" y S AMk la suma de todas las amortizaciones de capital realizadas hasta ese momento
CAs = S AMk
Siendo CAs el capital amortizado hasta el momento "s"
Luego:
Periodo Saldo vivo Capital amortizado
0 -------- 3.000.000 -----------0
1 --------2.508.608 --------491.392
2 --------1.968.077 -------1.031.923
3 --------1.373.493 -------1.626.507
4 ---------719.450 --------2.280.550
5 ------------0 -------------3.000.000
15 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 35: Préstamos
El préstamo es una operación financiera en la que el Banco entrega al cliente un importe y este se compromete a devolverlo en uno o varios pagos. Los préstamos suelen ser operaciones a largo plazo.
En el préstamo se puede distinguir:
C0: Importe inicial de la operación.
Ms: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando.
Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota.
Ss: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún no se ha amortizado hasta el momento "s".
CA s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado hasta el momento "s".
Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones:
Cuota periódica
Ms= AMs + Is
La cuota que se paga periódicamente está formada por dos componentes: AMs es la devolución de principal que se realiza en ese periodo; Is son los intereses que se pagan correspondientes a ese periodo.
Intereses del periodo
Is = Cs-1 * i * t
Los intereses del periodo "s" son iguales al saldo de la operación al comienzo del periodo, por el tipo de interés y por la duración del periodo.
Capital inicial
Co = S AMk
El capital inicial es igual a la suma de todas las amortizaciones parciales de capital que se van a realizar a lo largo de la vida de la operación.
Saldo vivo de la operación en el momento "s"
Ss= S Mk (1+i)^k-s
El saldo vivo de la operación en el momento "s" es igual a la suma de todas las cuotas periódicas pendientes de vencer, descontadas a esa fecha.
Ss= Co - S AMk
También se puede calcular restando al importe inicial de la operación las amortizaciones de capital que ya se hayan realizado.
Capital amortizado
CAs = S AMk
El capital amortizado
CAs = Co- Ss
También se puede calcular como la diferencia entre el capital inicial y el saldo pendiente de amortizar al momento "s".
En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos particulares que estudiaremos en las próximas lecciones:
a) Préstamo con cuota de amortización constante
b) Préstamo con devolución de principal constante
c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento
d) Préstamo con periodo de carencia
e) Préstamo con diferentes tipos de interés a lo largo de la vida de la operación
f) Préstamo con intereses anticipados.
En el préstamo se puede distinguir:
C0: Importe inicial de la operación.
Ms: Cuota de amortización. Es la cantidad que periódicamente se irá pagando.
Este importe puede ser constante o puede ir variando. El subíndice "s" indica el periodo de la vida del préstamo al que corresponde dicha cuota.
Ss: Es el saldo pendiente de capital, es decir, la parte del importe inicial que aún no se ha amortizado hasta el momento "s".
CA s: Capital amortizado. Es la parte del importe inicial que se ha amortizado hasta el momento "s".
Entre estos conceptos se pueden establecer una serie de relaciones:
Cuota periódica
Ms= AMs + Is
La cuota que se paga periódicamente está formada por dos componentes: AMs es la devolución de principal que se realiza en ese periodo; Is son los intereses que se pagan correspondientes a ese periodo.
Intereses del periodo
Is = Cs-1 * i * t
Los intereses del periodo "s" son iguales al saldo de la operación al comienzo del periodo, por el tipo de interés y por la duración del periodo.
Capital inicial
Co = S AMk
El capital inicial es igual a la suma de todas las amortizaciones parciales de capital que se van a realizar a lo largo de la vida de la operación.
Saldo vivo de la operación en el momento "s"
Ss= S Mk (1+i)^k-s
El saldo vivo de la operación en el momento "s" es igual a la suma de todas las cuotas periódicas pendientes de vencer, descontadas a esa fecha.
Ss= Co - S AMk
También se puede calcular restando al importe inicial de la operación las amortizaciones de capital que ya se hayan realizado.
Capital amortizado
CAs = S AMk
El capital amortizado
CAs = Co- Ss
También se puede calcular como la diferencia entre el capital inicial y el saldo pendiente de amortizar al momento "s".
En las operaciones de préstamos se pueden distinguir algunos casos particulares que estudiaremos en las próximas lecciones:
a) Préstamo con cuota de amortización constante
b) Préstamo con devolución de principal constante
c) Préstamo con una sola devolución de principal al vencimiento
d) Préstamo con periodo de carencia
e) Préstamo con diferentes tipos de interés a lo largo de la vida de la operación
f) Préstamo con intereses anticipados.
14 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 34: Compra-venta de acciones (II)
OPERACIONES A LARGO PLAZO
Para calcular la rentabilidad de este tipo de operaciones se aplica la ley de equivalencia financiera:
La rentabilidad de la operación es el tipo de interés que iguala en el momento inicial la prestación (importe de la adquisición) y la contraprestación (importe de la venta y dividendos percibidos durante ese periodo de tenencia, menos las comisiones de custodia pagadas).
Supongamos que una inversión en acciones origina los siguientes flujos monetarios durante el periodo de tenencia:
Periodo Tipo de flujo Comisión de custodia
año 0 Compra de las acciones - Ic
año 1 Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + D1 - Cm1
año 2 Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + D2 - Cm2
... ....... ...
año (n-2) Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + Dn-2 - Cmn-2
año (n-1) Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + Dn-1 - Cmn-1
año (n) Se cobran dividendos, se paga comisión de custodia y se venden las acciones + Dn - Cmn + Iv
Siendo " Ic " el precio pagado por la compra (incluyendo comisiones)
Siendo " D1 " los dividendos percibidos el primer año
Siendo " Cm1 " la comisión de custodia pagada el primer año
Siendo " Iv " el precio de venta (descontando las comisiones pagadas)
Todos estos flujos se descuentan al momento inicial y se iguala prestación con contraprestación. El tipo " ie " nos da la rentabilidad anual efectiva de la operación.
¿Que hemos hecho?
Hemos llevado al momento 0 todos los flujos. La prestación (la compra de las acciones) no se ha descontado ya que se encontraba en el momento inicial.
Cada flujo de la contraprestación (beneficios = dividendos - comisiones pagadas) se ha multiplicado por (1 - t) para depurar el efecto del pago de impuestos.
El último año hemos descontado, por una parte, el dividendo menos las comisiones, y por otra, los ingresos por la venta. A estos ingresos por venta le hemos restado los impuestos que se producen por las plusvalías obtenidas (Iv - Ic).
Ejemplo: Se adquieren 1.000 acciones de Telefónica por 3.000 ptas. cada una. Se paga una comisión de compra de 15.000 ptas. Estas acciones se venden 3 años más tarde por 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas.
Durante este periodo se han cobrado los siguientes dividendos y se han pagado las siguientes comisiones de custodia:
Periodo Dividendos Comisión de custodia
1º año -- +50.000 -------- -12.000
2º año -- +60.000 -------- -15.000
3º año -- +70.000 -------- -18.000
Calcular la rentabilidad de la operación:
Se aplica la ley de equivalencia financiera
luego,
Prestación = Contraprestación
3.017.000 = ((50.000-12.000)*(1-0,3)/(1+ie)) +
((60.000-15.000)*(1-0,3)/(1+ie)^2) +
((70.000-18.000)*(1-0,3)/(1+ie)^3) +
+ (((3.138.000)+(3.138.000-3.017.000)*(1-0,3))/(1 + ie)^3))
luego, ie = 3,2412%
Por lo tanto, la rentabilidad anual obtenida en esta operación ha sido de 3,24%
Para calcular la rentabilidad de este tipo de operaciones se aplica la ley de equivalencia financiera:
La rentabilidad de la operación es el tipo de interés que iguala en el momento inicial la prestación (importe de la adquisición) y la contraprestación (importe de la venta y dividendos percibidos durante ese periodo de tenencia, menos las comisiones de custodia pagadas).
Supongamos que una inversión en acciones origina los siguientes flujos monetarios durante el periodo de tenencia:
Periodo Tipo de flujo Comisión de custodia
año 0 Compra de las acciones - Ic
año 1 Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + D1 - Cm1
año 2 Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + D2 - Cm2
... ....... ...
año (n-2) Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + Dn-2 - Cmn-2
año (n-1) Se cobran dividendos y se paga comisión de custodia + Dn-1 - Cmn-1
año (n) Se cobran dividendos, se paga comisión de custodia y se venden las acciones + Dn - Cmn + Iv
Siendo " Ic " el precio pagado por la compra (incluyendo comisiones)
Siendo " D1 " los dividendos percibidos el primer año
Siendo " Cm1 " la comisión de custodia pagada el primer año
Siendo " Iv " el precio de venta (descontando las comisiones pagadas)
Todos estos flujos se descuentan al momento inicial y se iguala prestación con contraprestación. El tipo " ie " nos da la rentabilidad anual efectiva de la operación.
¿Que hemos hecho?
Hemos llevado al momento 0 todos los flujos. La prestación (la compra de las acciones) no se ha descontado ya que se encontraba en el momento inicial.
Cada flujo de la contraprestación (beneficios = dividendos - comisiones pagadas) se ha multiplicado por (1 - t) para depurar el efecto del pago de impuestos.
El último año hemos descontado, por una parte, el dividendo menos las comisiones, y por otra, los ingresos por la venta. A estos ingresos por venta le hemos restado los impuestos que se producen por las plusvalías obtenidas (Iv - Ic).
Ejemplo: Se adquieren 1.000 acciones de Telefónica por 3.000 ptas. cada una. Se paga una comisión de compra de 15.000 ptas. Estas acciones se venden 3 años más tarde por 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas.
Durante este periodo se han cobrado los siguientes dividendos y se han pagado las siguientes comisiones de custodia:
Periodo Dividendos Comisión de custodia
1º año -- +50.000 -------- -12.000
2º año -- +60.000 -------- -15.000
3º año -- +70.000 -------- -18.000
Calcular la rentabilidad de la operación:
Se aplica la ley de equivalencia financiera
luego,
Prestación = Contraprestación
3.017.000 = ((50.000-12.000)*(1-0,3)/(1+ie)) +
((60.000-15.000)*(1-0,3)/(1+ie)^2) +
((70.000-18.000)*(1-0,3)/(1+ie)^3) +
+ (((3.138.000)+(3.138.000-3.017.000)*(1-0,3))/(1 + ie)^3))
luego, ie = 3,2412%
Por lo tanto, la rentabilidad anual obtenida en esta operación ha sido de 3,24%
Matemáticas Financieras - Lección 33: Compra - Venta de Acciones (I)
Cuando se compran acciones el importe efectivo que se paga por ellas viene determinado por la fórmula:
Ic = (Nc * Pc) + Cc
Siendo " Ic" el importe efectivo de la compra
" Nc" el número de acciones adquiridas
" Pc" el precio pagado por acción
" Cc" las comisiones pagadas en la compra
Ejemplo: se adquieren 1.000 acciones de Telefónica que cotizan en ese momento a 3.000 ptas. Se pagan unas comisiones de 15.000 ptas. Calcular el importe de la adquisición.
Ic = (Nc * Pc) + Cc
Luego, Ic = (1.000 * 3.000) + 15.000
Luego, Ic = 3.017.000 ptas.
Durante el tiempo en que se mantienen las acciones se irán recibiendo dividendos, pero también habrá que pagar comisiones de custodia.
Cuando se venden las acciones el importe recibido viene determinado por la siguiente fórmula:
Iv = (Nv * Pv) - Cv
Siendo " Iv" el importe efectivo de la venta
" Nv" el número de acciones que se venden
" Pv" el precio de venta por acción
"Cc" las comisiones pagadas en la venta
Ejemplo: las acciones que compramos en el ejemplo anterior se venden 9 meses después a 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas. Calcular el importe ingresado por la venta.
Iv = (Nv * Pv) - Cv
Luego, Iv = (1.000 * 3.150) - 12.000
Luego, Iv = 3.138.000 ptas.
Para calcular la rentabilidad que se obtiene en este tipo de inversiones hay que distinguir:
a) Operaciones a corto plazo (< 12 meses) se aplica la ley de capitalización simple.
b) Operaciones a largo plazo (> 12 meses) se aplica la ley de capitalización compuesta.
OPERACIONES A CORTO PLAZO
En este tipo de operaciones, para calcular la rentabilidad que se obtiene, se aplica la siguiente fórmula:
r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 - t) / Ic
Siendo " r " la rentabilidad obtenida en la operación
" D " los dividendos percibidos
" Cm" las comisiones de custodia pagadas
" Iv " el importe de la venta
" Ic" el importe de la compra
" t " el tipo impositivo marginal que paga el inversor
Analicemos la fórmula anterior:
El paréntesis (D - Cm + Iv - Ic) determina el ingreso bruto que percibe el inversor.
No obstante, el inversor tiene que pagar impuestos por los beneficios obtenidos, por lo que su beneficio neto viene determinado por el beneficio bruto multiplicado por (1 - t).
Ejemplo: en el ejemplo anterior, el inversor recibe durante los 9 meses que ha mantenido las acciones, dividendos por 100.000 ptas. y ha pagado comisiones de custodia por 20.000 ptas. Su tipo impositivo marginal es el 30%. Calcular la rentabilidad obtenida:
r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 " - t) / Ic
luego, r = (100.000 - 20.000 + 3.138.000 - 3.017.000) (1 - 0,3) / 3.017.000
luego, r = 4,66%
Esta rentabilidad la ha obtenido el inversor en un plazo de 9 meses. Su equivalente anual sería r = 4,66 * 12 / 9 = 6,21%
Ic = (Nc * Pc) + Cc
Siendo " Ic" el importe efectivo de la compra
" Nc" el número de acciones adquiridas
" Pc" el precio pagado por acción
" Cc" las comisiones pagadas en la compra
Ejemplo: se adquieren 1.000 acciones de Telefónica que cotizan en ese momento a 3.000 ptas. Se pagan unas comisiones de 15.000 ptas. Calcular el importe de la adquisición.
Ic = (Nc * Pc) + Cc
Luego, Ic = (1.000 * 3.000) + 15.000
Luego, Ic = 3.017.000 ptas.
Durante el tiempo en que se mantienen las acciones se irán recibiendo dividendos, pero también habrá que pagar comisiones de custodia.
Cuando se venden las acciones el importe recibido viene determinado por la siguiente fórmula:
Iv = (Nv * Pv) - Cv
Siendo " Iv" el importe efectivo de la venta
" Nv" el número de acciones que se venden
" Pv" el precio de venta por acción
"Cc" las comisiones pagadas en la venta
Ejemplo: las acciones que compramos en el ejemplo anterior se venden 9 meses después a 3.150 ptas. cada acción. Las comisiones de venta ascienden a 12.000 ptas. Calcular el importe ingresado por la venta.
Iv = (Nv * Pv) - Cv
Luego, Iv = (1.000 * 3.150) - 12.000
Luego, Iv = 3.138.000 ptas.
Para calcular la rentabilidad que se obtiene en este tipo de inversiones hay que distinguir:
a) Operaciones a corto plazo (< 12 meses) se aplica la ley de capitalización simple.
b) Operaciones a largo plazo (> 12 meses) se aplica la ley de capitalización compuesta.
OPERACIONES A CORTO PLAZO
En este tipo de operaciones, para calcular la rentabilidad que se obtiene, se aplica la siguiente fórmula:
r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 - t) / Ic
Siendo " r " la rentabilidad obtenida en la operación
" D " los dividendos percibidos
" Cm" las comisiones de custodia pagadas
" Iv " el importe de la venta
" Ic" el importe de la compra
" t " el tipo impositivo marginal que paga el inversor
Analicemos la fórmula anterior:
El paréntesis (D - Cm + Iv - Ic) determina el ingreso bruto que percibe el inversor.
No obstante, el inversor tiene que pagar impuestos por los beneficios obtenidos, por lo que su beneficio neto viene determinado por el beneficio bruto multiplicado por (1 - t).
Ejemplo: en el ejemplo anterior, el inversor recibe durante los 9 meses que ha mantenido las acciones, dividendos por 100.000 ptas. y ha pagado comisiones de custodia por 20.000 ptas. Su tipo impositivo marginal es el 30%. Calcular la rentabilidad obtenida:
r = (D - Cm + Iv - Ic) * (1 " - t) / Ic
luego, r = (100.000 - 20.000 + 3.138.000 - 3.017.000) (1 - 0,3) / 3.017.000
luego, r = 4,66%
Esta rentabilidad la ha obtenido el inversor en un plazo de 9 meses. Su equivalente anual sería r = 4,66 * 12 / 9 = 6,21%
13 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 32: Cuenta de Crédito
En la cuenta de crédito la entidad financiera pone a disposición del cliente un límite máximo de endeudamiento, del que éste irá disponiendo en función de sus necesidades.
La cuenta de crédito funciona como una cuenta corriente: el cliente podrá disponer, pero también podrá ingresar; de hecho, el saldo puede ser ocasionalmente a su favor.
El banco establece dos tipos de interés: uno que aplica a los saldos deudores, y otro inferior, similar al de las cuentas corrientes, con el que remunera los saldos acreedores.
El banco puede admitir que el cliente en ocasiones puntuales pueda disponer por encima del límite autorizado, pero en estos casos le aplicará un tipo de penalización durante el tiempo en que el crédito se encuentre excedido.
Las cuentas de crédito suelen llevar comisiones, destacando la comisión de apertura (entorno al 0,5% del límite concedido) y la comisión por límite no dispuesto (por ejemplo: si se solicita un crédito de 5 millones ptas. y el saldo medio utilizado es de 3 millones, esta comisión se aplica sobre los 2 millones restantes).
Ejemplo:
Un cliente apertura una cuenta de crédito con un límite de 3.000.000 ptas. y vencimiento a 1 año. El banco establece un tipo del 12% para los saldos deudores, del 24% para los saldos excedidos, y remunera con el 3% los saldos acreedores.
El banco aplica una comisión de apertura del 0,5% y una comisión sobre límite no dispuesto del 0,25%.
Transcurrido el primer trimestre, el saldo medio dispuesto ha sido de 2.500.000 ptas., ha habido un saldo medio excedido de 200.000 ptas., y un saldo medio acreedor de 300.000 ptas.
Calcular la liquidación de la cuenta de este primer trimestre, así como el tipo TAE de este periodo.
a) Liquidación de la cuenta (se aplica la ley de capitalización simple I = C * i * t)
Comisión de apertura
3.000.000 * 0,005 = - 15.000
Intereses deudores (ordinarios)
2.500.000 * 0,12 * 0,25 = - 75.000
(se utiliza la base anual: un trimestre es igual a 0,25 años)
Intereses deudores (excedidos)
200.000 * 0,24 * 0,25 = - 12.000
Intereses acreedores
300.000 * 0,03 * 0,25 = + 2.250
Comisión s/saldo medio no disp.
500.000 * 0,0025= - 1.250
Total liquidación
- 101.000
b) TAE de la operación
Se calcula el tipo efectivo para el trimestre; para ello se suman los intereses y las comisiones pagadas, y se divide entre el saldo medio deudor
La comisión de apertura se divide entre 4 trimestres (duración de la operación), asignándole a este primer trimestre una cuarta parte.
Por lo tanto, ie = (75.000 + 12.000 + 3.750 + 1.250)/( 2.500.000 + 200.000)
"ie" es el tipo efectivo
3.750 ptas. corresponden a la comisión de apertura (una cuarta parte de 15.000 ptas.)
No consideramos ni el saldo medio acreedor, ni los intereses pagados al cliente
luego, ie = 3,4074%
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo de la operación durante el primer trimestre ha sido del 3,407%
Una vez calculado el tipo efectivo, se calcula su tipo anual equivalente (TAE)
luego, 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo "i" el tipo TAE)
luego, i = 14,34%
El TAE de este crédito durante el primer trimestre ha sido del 14,34%
La cuenta de crédito funciona como una cuenta corriente: el cliente podrá disponer, pero también podrá ingresar; de hecho, el saldo puede ser ocasionalmente a su favor.
El banco establece dos tipos de interés: uno que aplica a los saldos deudores, y otro inferior, similar al de las cuentas corrientes, con el que remunera los saldos acreedores.
El banco puede admitir que el cliente en ocasiones puntuales pueda disponer por encima del límite autorizado, pero en estos casos le aplicará un tipo de penalización durante el tiempo en que el crédito se encuentre excedido.
Las cuentas de crédito suelen llevar comisiones, destacando la comisión de apertura (entorno al 0,5% del límite concedido) y la comisión por límite no dispuesto (por ejemplo: si se solicita un crédito de 5 millones ptas. y el saldo medio utilizado es de 3 millones, esta comisión se aplica sobre los 2 millones restantes).
Ejemplo:
Un cliente apertura una cuenta de crédito con un límite de 3.000.000 ptas. y vencimiento a 1 año. El banco establece un tipo del 12% para los saldos deudores, del 24% para los saldos excedidos, y remunera con el 3% los saldos acreedores.
El banco aplica una comisión de apertura del 0,5% y una comisión sobre límite no dispuesto del 0,25%.
Transcurrido el primer trimestre, el saldo medio dispuesto ha sido de 2.500.000 ptas., ha habido un saldo medio excedido de 200.000 ptas., y un saldo medio acreedor de 300.000 ptas.
Calcular la liquidación de la cuenta de este primer trimestre, así como el tipo TAE de este periodo.
a) Liquidación de la cuenta (se aplica la ley de capitalización simple I = C * i * t)
Comisión de apertura
3.000.000 * 0,005 = - 15.000
Intereses deudores (ordinarios)
2.500.000 * 0,12 * 0,25 = - 75.000
(se utiliza la base anual: un trimestre es igual a 0,25 años)
Intereses deudores (excedidos)
200.000 * 0,24 * 0,25 = - 12.000
Intereses acreedores
300.000 * 0,03 * 0,25 = + 2.250
Comisión s/saldo medio no disp.
500.000 * 0,0025= - 1.250
Total liquidación
- 101.000
b) TAE de la operación
Se calcula el tipo efectivo para el trimestre; para ello se suman los intereses y las comisiones pagadas, y se divide entre el saldo medio deudor
La comisión de apertura se divide entre 4 trimestres (duración de la operación), asignándole a este primer trimestre una cuarta parte.
Por lo tanto, ie = (75.000 + 12.000 + 3.750 + 1.250)/( 2.500.000 + 200.000)
"ie" es el tipo efectivo
3.750 ptas. corresponden a la comisión de apertura (una cuarta parte de 15.000 ptas.)
No consideramos ni el saldo medio acreedor, ni los intereses pagados al cliente
luego, ie = 3,4074%
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo de la operación durante el primer trimestre ha sido del 3,407%
Una vez calculado el tipo efectivo, se calcula su tipo anual equivalente (TAE)
luego, 1 + i = (1 + i4)^4 (siendo "i" el tipo TAE)
luego, i = 14,34%
El TAE de este crédito durante el primer trimestre ha sido del 14,34%
Matemáticas Financieras - Lección 31: Letras del Tesoro
Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses y presentan la peculiaridad de que se emiten a descuento.
Es decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras que en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título.
Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:
a) Si vence antes de 1 año, se aplica la ley de capitalización simple
P (1 + i * t) = N
Siendo "P" el precio que paga por la Letra
"N" el valor nominal de la letra (importe que recibe al vencimiento)
b) Si vence a más de 1 año se aplica la ley de capitalización compuesta
P (1 + i )^t = N
Al suscribir y al vencer la Letra, la entidad financiera suele cobrar comisiones, que en el primer caso incrementan el precio de compra y en el segundo caso disminuyen el importe recibido en el reembolso.
Estas comisiones hay que incorporarlas en las fórmulas anteriores para calcular la rentabilidad de las letras. Por tanto:
a) Vencimiento a menos de 1 año:
(P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv
Siendo "Cc" la comisión de compra
"Cv" la comisión de venta
b) Vencimiento a más de 1 año:
(P + Cc) * (1 + i )^t = N - Cv
Ejemplo: Se suscribe una Letra del Tesoro de 1.000.000 ptas. con vencimiento a 6 meses. El precio de compra es de 950.000 ptas., con una comisión de 5.000 ptas. En el momento del reembolso se aplica otra comisión de 4.000 ptas. Calcular la rentabilidad efectiva para el cliente:
Al ser una operación a menos de 1 año se aplica la ley de capitalización simple
Por lo tanto, (P + Cc)* (1 + i * t) = N - Cv
(Hay que despejar "i" que nos da la rentabilidad efectiva para el cliente
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5) = 1.000.000 - 4.000 ( plazo en base anual)
luego, i = 8,586%
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en esta operación es del 8,586%
¿Y si el vencimiento de esta letra fuera a 15 meses?:
En este caso, al ser una operación a más de 1 año, se aplica la ley de capitalización compuesta
Por lo tanto, (P + Cc)*(1 + i )^t = N - Cv
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i )^1,25 = 1.000.000 - 4.000
luego, i = 3,42%
Por lo tanto, la misma operación que en el caso anterior, pero a un plazo de 15 meses, estaría dando una rentabilidad del 3,42%.
El comprador puede vender la Letra antes de su vencimiento. Para calcular la rentabilidad obtenida se aplicaría la misma fórmula, ajustando el tiempo al periodo en que ha sido titular de la Letra.
Ejemplo: en el caso anterior (Letra con vencimiento a 15 meses) el comprador la vende transcurrido únicamente 7 meses, por un precio de 975.000 ptas. En esta venta no paga comisiones. Calcular la rentabilidad obtenida:
Como el plazo en que ha mantenido la Letra ha sido inferior al año, se aplica la ley de capitalización simple.
Por lo tanto, (P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv
Luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5833) = 975.000 - 0
luego, i = 3,59%
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en este caso es del 3,59%
Es decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras que en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título.
Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:
a) Si vence antes de 1 año, se aplica la ley de capitalización simple
P (1 + i * t) = N
Siendo "P" el precio que paga por la Letra
"N" el valor nominal de la letra (importe que recibe al vencimiento)
b) Si vence a más de 1 año se aplica la ley de capitalización compuesta
P (1 + i )^t = N
Al suscribir y al vencer la Letra, la entidad financiera suele cobrar comisiones, que en el primer caso incrementan el precio de compra y en el segundo caso disminuyen el importe recibido en el reembolso.
Estas comisiones hay que incorporarlas en las fórmulas anteriores para calcular la rentabilidad de las letras. Por tanto:
a) Vencimiento a menos de 1 año:
(P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv
Siendo "Cc" la comisión de compra
"Cv" la comisión de venta
b) Vencimiento a más de 1 año:
(P + Cc) * (1 + i )^t = N - Cv
Ejemplo: Se suscribe una Letra del Tesoro de 1.000.000 ptas. con vencimiento a 6 meses. El precio de compra es de 950.000 ptas., con una comisión de 5.000 ptas. En el momento del reembolso se aplica otra comisión de 4.000 ptas. Calcular la rentabilidad efectiva para el cliente:
Al ser una operación a menos de 1 año se aplica la ley de capitalización simple
Por lo tanto, (P + Cc)* (1 + i * t) = N - Cv
(Hay que despejar "i" que nos da la rentabilidad efectiva para el cliente
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5) = 1.000.000 - 4.000 ( plazo en base anual)
luego, i = 8,586%
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en esta operación es del 8,586%
¿Y si el vencimiento de esta letra fuera a 15 meses?:
En este caso, al ser una operación a más de 1 año, se aplica la ley de capitalización compuesta
Por lo tanto, (P + Cc)*(1 + i )^t = N - Cv
luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i )^1,25 = 1.000.000 - 4.000
luego, i = 3,42%
Por lo tanto, la misma operación que en el caso anterior, pero a un plazo de 15 meses, estaría dando una rentabilidad del 3,42%.
El comprador puede vender la Letra antes de su vencimiento. Para calcular la rentabilidad obtenida se aplicaría la misma fórmula, ajustando el tiempo al periodo en que ha sido titular de la Letra.
Ejemplo: en el caso anterior (Letra con vencimiento a 15 meses) el comprador la vende transcurrido únicamente 7 meses, por un precio de 975.000 ptas. En esta venta no paga comisiones. Calcular la rentabilidad obtenida:
Como el plazo en que ha mantenido la Letra ha sido inferior al año, se aplica la ley de capitalización simple.
Por lo tanto, (P + Cc) * (1 + i * t) = N - Cv
Luego, (950.000 + 5.000) * (1 + i * 0,5833) = 975.000 - 0
luego, i = 3,59%
Por lo tanto, la rentabilidad (anual) que obtiene el inversor en este caso es del 3,59%
11 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 30: Descuento por "Pronto Pago"
En las operaciones comerciales de compra-venta es frecuente que el pago no se realice al contado, sino que el vendedor conceda al comprador un aplazamiento sin coste alguno, que suele estar entre 90 y 120 días.
También resulta frecuente que el vendedor conceda al comprador un descuento si realiza el pago al contado (descuento por "pronto-pago").
Es interesante calcular el % máximo que puede ofrecer el vendedor por "pronto-pago", así como a partir de que tipo de descuento le puede convenir al comprador acogerse al mismo.
a) Descuento máximo por "pronto pago" que puede ofrecer el vendedor.
Este descuento máximo estará determinado por el coste de su financiación. Al obtener el pago al contado, el vendedor se ahorra tener que acudir a la financiación bancaria durante el periodo de aplazamiento.
Por lo tanto, el vendedor podrá ofrecer un tipo de descuento que será como máximo igual al coste de su financiación, ya que si fuera mayor le resultaría más ventajoso esperar a que se cumpla el aplazamiento dado al vendedor y financiarse mientras por el banco.
Para poder comparar el coste de su financiación con el descuento ofrecido, tendrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento. La fórmula empleada es la siguiente :
i = d * 365 / t
x
dónde "i" es el tipo anual equivalente
"d" es la tasa de descuento ofrecida
"t" es el periodo de aplazamiento concedido
Ejemplo: Una empresa concede aplazamientos por 90 días y su coste de financiación bancaria es del 10%. Calcular el descuento por "pronto-pago" máximo que podrá ofrecer:
Aplicamos la fórmula, i = d * 365 / t
luego, i = 0,10 * 365 / 90
luego, i = 2,466%
Por lo tanto, el descuento máximo que podrá ofrecer es del 2,466% (equivalente a un 10% anual). No podrá ofrecer descuentos mayores ya que le resultaría más rentable esperar los 90 días del aplazamiento y mientras financiarse en el banco.
b) Descuento mínimo por "pronto pago" que resultará interesante al comprador.
El razonamiento es similar: el ahorro que obtenga por el descuento tendrá que ser mayor que el coste de su financiación: si la empresa paga al contado dispondrá de unos fondos que tendrá que financiar, sólo si con el pago al contado consigue un ahorro superior al coste de su financiación, le resultará interesante.
Si el descuento que obtiene es inferior al coste de su financiación, preferirá acogerse al aplazamiento del pago.
Al igual que en el caso anterior, y para poder comparar la tasa de descuento con el coste de su financiación, habrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento, aplicando la misma fórmula que en el caso anterior.
Ejemplo: una empresa compradora se financia en su banco al 12%. En una operación de compra-venta, el vendedor le ofrece un pago aplazado de 120 días o un descuento por "pronto-pago" del 3%. Ver si el conviene acogerse a este "pronto-pago".
Se calcula el tipo anual equivalente al descuento ofrecido:
Se aplica la fórmula, i = d * 365 / t
luego, i = 0,12 * 365 / 120
luego, i = 9,125%
Vemos que que el descuento que le ofrecen por pronto-pago es inferior al coste de su financiación, por lo que no le conviene acogerse al mismo.
¿Y si el descuento ofrecido es del 5%?
Se vuelve a calcular el tipo anual equivalente, i = 0,05 * 365 / 120
luego, i = 15,7%
En este caso sí le convendría acogerse al pago al contado
También resulta frecuente que el vendedor conceda al comprador un descuento si realiza el pago al contado (descuento por "pronto-pago").
Es interesante calcular el % máximo que puede ofrecer el vendedor por "pronto-pago", así como a partir de que tipo de descuento le puede convenir al comprador acogerse al mismo.
a) Descuento máximo por "pronto pago" que puede ofrecer el vendedor.
Este descuento máximo estará determinado por el coste de su financiación. Al obtener el pago al contado, el vendedor se ahorra tener que acudir a la financiación bancaria durante el periodo de aplazamiento.
Por lo tanto, el vendedor podrá ofrecer un tipo de descuento que será como máximo igual al coste de su financiación, ya que si fuera mayor le resultaría más ventajoso esperar a que se cumpla el aplazamiento dado al vendedor y financiarse mientras por el banco.
Para poder comparar el coste de su financiación con el descuento ofrecido, tendrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento. La fórmula empleada es la siguiente :
i = d * 365 / t
x
dónde "i" es el tipo anual equivalente
"d" es la tasa de descuento ofrecida
"t" es el periodo de aplazamiento concedido
Ejemplo: Una empresa concede aplazamientos por 90 días y su coste de financiación bancaria es del 10%. Calcular el descuento por "pronto-pago" máximo que podrá ofrecer:
Aplicamos la fórmula, i = d * 365 / t
luego, i = 0,10 * 365 / 90
luego, i = 2,466%
Por lo tanto, el descuento máximo que podrá ofrecer es del 2,466% (equivalente a un 10% anual). No podrá ofrecer descuentos mayores ya que le resultaría más rentable esperar los 90 días del aplazamiento y mientras financiarse en el banco.
b) Descuento mínimo por "pronto pago" que resultará interesante al comprador.
El razonamiento es similar: el ahorro que obtenga por el descuento tendrá que ser mayor que el coste de su financiación: si la empresa paga al contado dispondrá de unos fondos que tendrá que financiar, sólo si con el pago al contado consigue un ahorro superior al coste de su financiación, le resultará interesante.
Si el descuento que obtiene es inferior al coste de su financiación, preferirá acogerse al aplazamiento del pago.
Al igual que en el caso anterior, y para poder comparar la tasa de descuento con el coste de su financiación, habrá que calcular el tipo anual equivalente de dicho descuento, aplicando la misma fórmula que en el caso anterior.
Ejemplo: una empresa compradora se financia en su banco al 12%. En una operación de compra-venta, el vendedor le ofrece un pago aplazado de 120 días o un descuento por "pronto-pago" del 3%. Ver si el conviene acogerse a este "pronto-pago".
Se calcula el tipo anual equivalente al descuento ofrecido:
Se aplica la fórmula, i = d * 365 / t
luego, i = 0,12 * 365 / 120
luego, i = 9,125%
Vemos que que el descuento que le ofrecen por pronto-pago es inferior al coste de su financiación, por lo que no le conviene acogerse al mismo.
¿Y si el descuento ofrecido es del 5%?
Se vuelve a calcular el tipo anual equivalente, i = 0,05 * 365 / 120
luego, i = 15,7%
En este caso sí le convendría acogerse al pago al contado
10 ene 2007
Matemáticas Financieras - lección 29: Descuento Bancario y Depósito en Garantía
Hace unos años era muy frecuente que cuando el cliente descontaba un efecto comercial (letra de pago) en el banco, éste le exigiera que dejara un porcentaje del importe recibido (5-10%) depositado en el banco (depósito que a veces era remunerado).
La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente).
No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento.
Veamos un ejemplo:
Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto.
Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos:
a) Si el banco no exige ningún depósito.
b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo, que remunera al 5% anual.
Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito.
a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente
La fórmula es: E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) (se aplica la ley de descuento comercial)
Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 )
(0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año)
Luego, E = 777.074 ptas.
b) Se calcula el tipo de interés efectivo
Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 ) (ie es el tipo efectivo)
Luego, ie = 10,46%
c) Se calcula el TAE de la operación
Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274 (ie es el tipo TAE)
luego, ie = 11,20%
Hipótesis 2: El banco sí exige la constitución de un depósito
a) Se calcula el importe efectivo
El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074 ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo), ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el banco).
Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas. depositadas, más de los intereses que haya generado:
Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t
luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274
luego, I = 1.064,6 ptas.
b) Se calcula el tipo de interés efectivo
Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga)
luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - ie * 0274 ) = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 )
¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el momento final (y que hay que descontar)
¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto (800.000) que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que descontar)
Luego, ie = 11,063%
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al 11,063%, superior al que calculamos en la Hipótesis 1.
c) Se calcula el TAE de la operación
La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + ie )^0,274 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274
luego, ie = 11,89%
El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que vimos en la hipótesis anterior.
Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene (5%) es inferior al tipo del descuento (9%).
La justificación que solía dar la banca para esta operatoria era que este depósito quedaba como garantía para el supuesto de que algún efecto viniera impagado (éste se cobraría con cargo al depósito del cliente).
No obstante, había otro motivo menos "confesable", y es que con este depósito (aún en el supuesto de que fuera remunerado) el banco aumentaba la rentabilidad que obtenía en la operación de descuento.
Veamos un ejemplo:
Un cliente descuenta en un banco una letra de cambio de 800.000 ptas., por un plazo de 100 días, y con un tipo de interés anual del 9%. El banco cobra una comisión de estudio del 0,4% sobre el valor nominal el efecto.
Vamos a calcular el tipo efectivo y el TAE de la operación en dos supuestos:
a) Si el banco no exige ningún depósito.
b) Si el banco exige la constitución de un depósito por el 10% del importe efectivo, que remunera al 5% anual.
Hipótesis 1: El banco no exige ningún depósito.
a) Se calcula el importe efectivo que recibe el cliente
La fórmula es: E = Co * ( 1 - d * t ) - ( Co * g ) (se aplica la ley de descuento comercial)
Luego, E = 800.000 * ( 1 - 0,09 * 0,274 ) - ( 800.000 * 0,004 )
(0,274 es el plazo, 100 días, expresado en año)
Luego, E = 777.074 ptas.
b) Se calcula el tipo de interés efectivo
Se aplica la fórmula, 777.074 = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 ) (ie es el tipo efectivo)
Luego, ie = 10,46%
c) Se calcula el TAE de la operación
Se aplica la fórmula 777.074 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274 (ie es el tipo TAE)
luego, ie = 11,20%
Hipótesis 2: El banco sí exige la constitución de un depósito
a) Se calcula el importe efectivo
El importe efectivo que recibe el cliente es el mismo (777.074 ptas.), con la diferencia de que ahora puede disponer en el momento inicial de tan sólo 699.367 (90% del importe efectivo), ya que el 10% restante (77.707 ptas.) queda depositada en el banco).
Al cabo de los 100 días, podrá disponer de las 77.707 ptas. depositadas, más de los intereses que haya generado:
Estos intereses se calcularán: I = Co * i * t
luego, I = 77.707 * 0,05 * 0,274
luego, I = 1.064,6 ptas.
b) Se calcula el tipo de interés efectivo
Igualamos en el momento inicial el valor de la prestación (lo que recibe el cliente) y la contraprestación (lo que paga)
luego, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 - ie * 0274 ) = 800.000 * ( 1 - ie * 0274 )
¿Cual es la prestación? las 699.367 que recibe en el momento inicial (no hay que descontarla), más el importe del depósito y de sus intereses (78.771,6 = 77.707 + 1.064,6) que recibe en el momento final (y que hay que descontar)
¿Y cual es la contraprestación? el importe del efecto (800.000) que el banco podrá cobrar en el momento final (y que hay que descontar)
Luego, ie = 11,063%
Por lo tanto, el tipo de interés efectivo se eleva al 11,063%, superior al que calculamos en la Hipótesis 1.
c) Se calcula el TAE de la operación
La fórmula es, 699.367 + 78,771,6 * ( 1 + ie )^0,274 = 800.000 * ( 1 + ie )^0,274
luego, ie = 11,89%
El TAE de la operación es 11,89%, superior igualmente al que vimos en la hipótesis anterior.
Por lo tanto, la constitución del depósito ha encarecido la operación para el cliente, ya que la remuneración que obtiene (5%) es inferior al tipo del descuento (9%).
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