Los términos de las rentas variables son diferentes, por lo que no se puede aplicar ninguna fórmula de simplificación.
El método que se utilizará es el de descontar cada uno de estos términos al momento inicial (calculo del valor inicial) o al momento final (cálculo del valor final).
Dentro de estas rentas variables se podrán presentar cada una de las modalidades que hemos estudiado:
Prepagable
Pospagable
Anticipadas
Diferidas
Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral, prepagable, con un tipo anual del 12%. Los términos de la renta son los siguientes:
Periodo---- Término
1º sem.----100.000
2º sem.----200.000
3º sem.----150.000
4º sem.----300.000
5º sem.----100.000
6º sem.----400.000
1º) se calcula el tipo de interés semestral equivalente:
1 + i = (1 + i2)^2 (siendo i2 el tipo semestral equivalente)
1 + 0,12 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 5,83%
2º) Se descuenta cada término al momento inicial:
Periodo--- Término--- Factor de Descuento---Término descontado
1º sem.-- 100.000 ----------------1------------------ 100.000
2º sem.---200.000-------(1 + 0,0583)^-1-----------188.980
3º sem.---150.000-------(1 + 0,0583)^-2-----------133.935
4º sem.---300.000-------(1 + 0,0583)^-3-----------253.110
5º sem.---100.000-------(1 + 0,0583)^-4------------79.720
6º sem.---400.000-------(1 + 0,0583)^-5-----------301.312
Suma de los términos descontados
1.357.057
Por lo tanto, el valor actual de esta renta es de 1.357.057 ptas.
Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral pospagable que se encuentra anticipada dos años, aplicando un tipo de interés anual del 9%. Los términos de la renta son los siguientes:
Periodo----- Término
1º trim.-----100.000
2º trim.-----200.000
3º trim.-----300.000
4º trim.-----400.000
1º) se calcula el tipo de interés trimestral equivalente:
1 + i = (1 + i4)^4 (siendo i4 el tipo trimestral equivalente)
1 + 0,09 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,178%
2º) Se capitaliza cada término al momento final de la renta:
Periodo--- Término--- Factor de Capitalización---Término capitalizado
1º trim.---100.000---------(1 + 0,02178)^3------------106.677
2º trim.---200.000---------(1 + 0,02178)^2------------208.807
3º trim.---300.000---------(1 + 0,02178)^1------------306.534
4º trim.---400.000------------------1---------------------400.000
Suma de los términos capitalizados 1.022.018.
De esta manera se ha calculado el valor final de esta renta en el momento final (vencimiento del 4º término), pero esta renta se encuentra anticipada 2 años.
3º) El valor final calculado se capitaliza 2 años:
Vk = Vn (1 + i )^2 (se utiliza el tipo anual, ya que la base temporal es el año)
Vk = 1.022.018 (1 + 0,09 )^2
Vk = 1.214.260 ptas.
Por lo tanto, el valor final de esta renta diferida (Vk) es de 1.214.260 ptas.
2 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 22: Rentas Constantes: Ejercicios
Ejercicio 1: Tenemos una renta pospagable de 500.000 ptas. semestrales, durante 4 años, y se le aplica un tipo de interés del 10% anual.
Calcular el valor actual
Calcular el valor final
Ver la relación entre valor actual y valor final
Ejercicio 2: El mismo ejercicio anterior, pero suponiendo que la renta es prepagable.
Ejercicio 3: Calcular el valor inicial de una renta perpetua pospagable de 100.000 ptas. mensual, aplicando un tipo de interés anual del 8% anual.
Ejercicio 4: Tenemos una renta trimestral de 200.000 ptas., prepagable, con una duración de 4 años, y se le aplica un tipo de interés anual del 10%. La renta se encuentra diferida 2 años.
Calcular el valor inicial
Calcular el valor final
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
A) Valor inicial
Como la renta es semestral, hay que utilizar la base semestral
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
luego, 1 + 0,1 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 4,881%
Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 500.000 * (1 - (1,04881)^-8) / 0,04881)
luego, Vo = 500.000 * 6,4944
luego, Vo = 3.247.209 ptas.
B) Valor final
Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (((1,04881)^8- 1) / 0,04881)
luego, Vn = 500.000 * 9,5086
luego, Vn = 4.754.281 ptas.
C) Relación entre el valor inicial y el valor final
Tenemos que verificar la fórmula Sf = Ao (1 + i)^n
luego, 4.754.281 = 3.247.209 * 1,464
luego, 4.754.281 = 4.754.281
Por lo tanto, se verifica la relación
Ejercicio 2: Vamos a suponer ahora que la renta es prepagable
A) Valor inicial
Aplicamos la fórmula Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 500.000 * 1,04881 * ((1 - (1,04881)^-8) / 0,04881
luego, Vo = 3.405.705 ptas.
B) Valor final
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (1 + 0,04881) * (((1 + 0,04881)^8 - 1) / 0,04881)
luego, Vn = 500.000 * 1,04881 * 9,5086
luego, Vn = 4.986.336 ptas.
C) Relación entre el valor inicial y el valor final
Tenemos que verificar la fórmula S¨f = (1 + i)^n * Äo
luego, 4.986.336 = 3.405.705 * 1,464
luego, 4.986.336 = 4.986.336
Por lo tanto, se verifica la relación
Ejercicio 3:
Como la renta es mensual, hay que utilizar la base mensual
Tipo de interés mensual: 1 + i = (1 + i12)12
luego, 1 + 0,08 = (1 + i12)^12
luego, i12 = 0,643%
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i
luego, Vo = 100.000 / 0,00643
luego, Vo = 15.552.100 ptas.
Ejercicio 4:
A) Valor inicial
Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,1 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,411%
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/Äo
luego, Vo = C * (1+i4)^-d+1 * ((1 - (1 + i4)^-n)/i4)
luego, Vo = 200.000 * (1,02411)^-8+1 * ((1 - (1,02411)^-16)/0,02411)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vo = 200.000 * 0,8464 * 13,146
luego, Vo = 2.225.325 ptas.
B) Valor final
El valor final de una renta diferida coincide con el de una renta normal, en este caso, con el correspondiente a una renta prepagable
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i4) * (((1 + i4)^n - 1) / i4)
luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,02411) * (((1 + 0,2411)^16 - 1) / 0,02411)
luego, Vn = 200.000 * 1,02411 * 19,246
luego, Vn = 3.941.958 ptas.
Calcular el valor actual
Calcular el valor final
Ver la relación entre valor actual y valor final
Ejercicio 2: El mismo ejercicio anterior, pero suponiendo que la renta es prepagable.
Ejercicio 3: Calcular el valor inicial de una renta perpetua pospagable de 100.000 ptas. mensual, aplicando un tipo de interés anual del 8% anual.
Ejercicio 4: Tenemos una renta trimestral de 200.000 ptas., prepagable, con una duración de 4 años, y se le aplica un tipo de interés anual del 10%. La renta se encuentra diferida 2 años.
Calcular el valor inicial
Calcular el valor final
SOLUCIONES
Ejercicio 1:
A) Valor inicial
Como la renta es semestral, hay que utilizar la base semestral
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2
luego, 1 + 0,1 = (1 + i2)^2
luego, i2 = 4,881%
Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 500.000 * (1 - (1,04881)^-8) / 0,04881)
luego, Vo = 500.000 * 6,4944
luego, Vo = 3.247.209 ptas.
B) Valor final
Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (((1,04881)^8- 1) / 0,04881)
luego, Vn = 500.000 * 9,5086
luego, Vn = 4.754.281 ptas.
C) Relación entre el valor inicial y el valor final
Tenemos que verificar la fórmula Sf = Ao (1 + i)^n
luego, 4.754.281 = 3.247.209 * 1,464
luego, 4.754.281 = 4.754.281
Por lo tanto, se verifica la relación
Ejercicio 2: Vamos a suponer ahora que la renta es prepagable
A) Valor inicial
Aplicamos la fórmula Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 500.000 * 1,04881 * ((1 - (1,04881)^-8) / 0,04881
luego, Vo = 3.405.705 ptas.
B) Valor final
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (1 + 0,04881) * (((1 + 0,04881)^8 - 1) / 0,04881)
luego, Vn = 500.000 * 1,04881 * 9,5086
luego, Vn = 4.986.336 ptas.
C) Relación entre el valor inicial y el valor final
Tenemos que verificar la fórmula S¨f = (1 + i)^n * Äo
luego, 4.986.336 = 3.405.705 * 1,464
luego, 4.986.336 = 4.986.336
Por lo tanto, se verifica la relación
Ejercicio 3:
Como la renta es mensual, hay que utilizar la base mensual
Tipo de interés mensual: 1 + i = (1 + i12)12
luego, 1 + 0,08 = (1 + i12)^12
luego, i12 = 0,643%
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i
luego, Vo = 100.000 / 0,00643
luego, Vo = 15.552.100 ptas.
Ejercicio 4:
A) Valor inicial
Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral
Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,1 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,411%
Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/Äo
luego, Vo = C * (1+i4)^-d+1 * ((1 - (1 + i4)^-n)/i4)
luego, Vo = 200.000 * (1,02411)^-8+1 * ((1 - (1,02411)^-16)/0,02411)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vo = 200.000 * 0,8464 * 13,146
luego, Vo = 2.225.325 ptas.
B) Valor final
El valor final de una renta diferida coincide con el de una renta normal, en este caso, con el correspondiente a una renta prepagable
Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i4) * (((1 + i4)^n - 1) / i4)
luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,02411) * (((1 + 0,2411)^16 - 1) / 0,02411)
luego, Vn = 200.000 * 1,02411 * 19,246
luego, Vn = 3.941.958 ptas.
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