Matemáticas Financieras - Lección 21: Renta Diferida y Anticipada (II)

B) RENTA ANTICIPADA

Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo.

Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurren "k" periodos.

La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales.

Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable:

Periodo--Importe capitalizado--Importe capitalizado

-------------(Renta normal)------(Renta anticipada)

1----------1 * ( 1 + i )^n-1------1 * ( 1 + i )^n-1+k

2----------1 * ( 1 + i )^n-2------1 * ( 1 + i )^n-2+k

3----------1 * ( 1 + i )^n-3------1 * ( 1 + i )^n-3+k

n-2--------1 * ( 1 + i )^2--------1 * ( 1 + i )^2+k

n-1--------1 * ( 1 + i )^1--------1 * ( 1 + i )^1+k

n-----------------1------------------1 * ( 1 + i )^k

Luego, el valor final sería el siguiente:

-------------------Renta normal---------------------- Renta anticipada

Valor final---Sf = ((1 + i)^n - 1) / i ------ k/Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)

Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable:

---------------------Renta normal -------------------------Renta anticipada

Valor final S¨f = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) -----k/S¨f = (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)

Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final.

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años:

Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf

luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i)
luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12)
luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152
luego, Vn = 6.384.625 ptas.

Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio:

Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral

Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4
luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4
luego, i4 = 2,874%

Aplicamos ahora la fórmula de valor final, Vn = C * k/S¨f

luego, Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i)
luego, Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874)
(los periodos van expresados en trimestres)
luego, Vn = 150.000*1,3657*26,5286
luego, Vn = 5.434.521 ptas.

Matemáticas Financieras - Lección 20: Renta Diferida y Anticipada (I)

La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses.

La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta.

Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses.

En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor final coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto).

En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta .

Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado:

Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable).

Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca.

Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta.

A) RENTA DIFERIDA
Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos.

Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d" periodos adicionales.