En toda operación financiera se produce un intercambio de prestaciones dinerarias: una parte anticipa un capital y recibe a cambio pagos futuros. A lo largo de la vida de la operación, en diversos momentos pueden darse movimientos de capital en una u otra dirección.
El tipo de interés efectivo de una operación es aquel que iguala el valor actual de las prestaciones y de las contraprestaciones.
Si se actualiza al momento inicial, por una parte los pagos y por otra parte los cobros, el tipo de interés efectivo es aquel que iguala estos dos valores iniciales.
El Banco de España establece que en toda operación financiera, la entidad de crédito tiene que comunicar el tipo TAE (Tasa Anual Equivalente).
El TAE es el tipo de interés efectivo, expresado en tasa anual, pospagable.
Es decir, para calcular el TAE:
a) Se calcula el tipo de interés efectivo de la operación
b) Conocido este tipo efectivo, se calcula el tipo anual, pospagable (TAE) equivalente
El tipo TAE, al venir siempre expresado como tasa anual, pospagable, permite comparar el coste real o rendimiento real de diversas operaciones, en aquellos casos en que sus tipos de interés nominales no son directamente comparable:
Por ejemplo: si el tipo de interés de un crédito viene expresado en tasa trimestral, y el de otro crédito en tasa semestral, estos tipos no son directamente comparables. Pero si calculamos sus TAEs, ya sí se pueden comparar.
Cuando la entidad financiera calcula el TAE de una operación, en la parte de ingresos incluye no sólo los derivados del tipo de interés, sino también los ingresos por comisiones y cualquier otro tipo de ingreso derivado de la operación.
EJEMPLO: Se solicita un crédito de 1.000.000 ptas. que hay que devolver en 2 pagos semestrales de 550.000 ptas. Calcular el TAE:
Los flujos de capital son los siguientes:
Meses ---------------- Flujo
0 --------------- +1.000.0000
6 ----------------- -500.000
12 --------------- -500.000
Se analiza la operación desde el punto de vista del cliente. Los importes que recibe van con signos positivo, y los que paga van con signos negativo. Se podría haber realizado desde el punto de vista del banco, cambiando los signos
1.- Se calcula el tipo de interés efectivo
Luego, 1.000.000 = 550.000 * (i + i2)^-1 + 550.000* (i + i2)^-2
Luego, i2 = 6,596 % (i2 es el tipo de interés efectivo semestral)
2.- Calculado el tipo de interés efectivo, se calcula su equivalente TAE:
Se aplica la fórmula, (1 + i) = (1 + i2)^2 (donde i es el tipo TAE)
Luego, (1 + i) = (1 + 0,06596)^2
Luego, i = 13,628%
Por lo tanto, la tasa TAE de esta operación es el 13,628%
3 ene 2007
Matemáticas Financieras - Lección 24: Rentas con distintos tipos de interés
Hay rentas a las que se aplican distintos tipos de interés según los periodos:
Por ejemplo: Una renta de 3 años de duración a la que se aplican los siguientes tipos: 8% en el 1er año; 9% en el 2º año y 10% en el 3er año.
En estos casos hay que valorar cada tramo de forma independiente y sumar luego los valores obtenidos de cada tramo.
Ejemplo: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable de 1.000.000 ptas. y de 9 años de duración, a la que se le aplica el 5% en los 3 primeros años, el 6% en los 3 siguientes y el 7% en los 3 últimos:
Hay que calcular el valor inicial de cada tramo y sumarlo:
1º) El primer tramo comprende 3 años y en el cálculo de su valor inicial se puede seguir el modelo de una renta normal pospagable:
Por lo tanto se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,05)^-3)/ 0,05)
luego, Vo = 1.000.000 * 2,7232
luego, Vo = 2.723.248 ptas.
Por lo tanto, el valor actual de la renta de este primer tramo es de 2.723.348 ptas.
2º) Para el 2º tramo se calcula su valor actual al comienzos de dicho periodo (comienzos del 4º año) y luego se descuenta hasta el momento 0.
Se aplica la misma formula que en el caso anterior para calcular el valor actual a comienzos del 4º año:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,06)^-3)/ 0,06)
luego, Vo = 2.673.012 ptas.
El valor así calculado se descuenta 3 años (periodo diferido), pero en este descuento se aplica el tipo de interés del 1er periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años
luego, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^-3
luego, Vk = 2.309.038 ptas.
Por lo tanto, el valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 2º tramo es de 2.309.038 ptas.
3º) En el 3º tramo se aplica el mismo método: se calcula su valor actual al comienzo de dicho periodo (comienzos del 7º año) y luego se descuenta por el periodo diferido.
Cálculo de su valor actualizado a comienzos del 7º año:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,07)^-3)/ 0,07)
luego, Vo = 2.624.316 ptas.
Este valor se descuenta 6 años (periodo diferido): los 3 primeros aplicando el tipo del primer tramo (5%), y en los 3 siguientes, el del 2º tramo (6%).
luego, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3
luego, Vk = 1.903.264 ptas.
El valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 3º tramo es de 1.903.264 ptas.
4º) Una vez calculado el valor actual de los tres tramos se suman y se obtiene el valor actual de toda la renta.
luego, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264
luego, Vo = 6.935.550 ptas.
Por lo tanto, el valor actual de toda la renta es de 6.935.550 ptas.
En este tipo de renta en la que se aplican diversos tipos de interés resulta interesante conocer el tipo medio resultante.
Para ello se aplica la formula como si se tratara de una renta normal, con un sólo tipo de interés, y se despeja de la formula este tipo de interés medio:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, 6.935.550 = 1.000.000 * ((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es el tipo medio)
El cálculo de im exige una calculadora financiera, o se puede hacer por tanteo
luego im = 5,555% (calculado por tanteo)
Por lo tanto, la renta que hemos visto con tres tipos de interés diferentes es equivalente a una renta de igual duración y con los mismo términos de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés constante del 5,555%.
Por ejemplo: Una renta de 3 años de duración a la que se aplican los siguientes tipos: 8% en el 1er año; 9% en el 2º año y 10% en el 3er año.
En estos casos hay que valorar cada tramo de forma independiente y sumar luego los valores obtenidos de cada tramo.
Ejemplo: Calcular el valor inicial de una renta anual pospagable de 1.000.000 ptas. y de 9 años de duración, a la que se le aplica el 5% en los 3 primeros años, el 6% en los 3 siguientes y el 7% en los 3 últimos:
Hay que calcular el valor inicial de cada tramo y sumarlo:
1º) El primer tramo comprende 3 años y en el cálculo de su valor inicial se puede seguir el modelo de una renta normal pospagable:
Por lo tanto se aplica la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,05)^-3)/ 0,05)
luego, Vo = 1.000.000 * 2,7232
luego, Vo = 2.723.248 ptas.
Por lo tanto, el valor actual de la renta de este primer tramo es de 2.723.348 ptas.
2º) Para el 2º tramo se calcula su valor actual al comienzos de dicho periodo (comienzos del 4º año) y luego se descuenta hasta el momento 0.
Se aplica la misma formula que en el caso anterior para calcular el valor actual a comienzos del 4º año:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,06)^-3)/ 0,06)
luego, Vo = 2.673.012 ptas.
El valor así calculado se descuenta 3 años (periodo diferido), pero en este descuento se aplica el tipo de interés del 1er periodo (5%), ya que es el tipo vigente en esos años
luego, Vk = 2.673.012 * (1 + 0,05)^-3
luego, Vk = 2.309.038 ptas.
Por lo tanto, el valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 2º tramo es de 2.309.038 ptas.
3º) En el 3º tramo se aplica el mismo método: se calcula su valor actual al comienzo de dicho periodo (comienzos del 7º año) y luego se descuenta por el periodo diferido.
Cálculo de su valor actualizado a comienzos del 7º año:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, Vo = 1.000.000 * ((1 - (1 + 0,07)^-3)/ 0,07)
luego, Vo = 2.624.316 ptas.
Este valor se descuenta 6 años (periodo diferido): los 3 primeros aplicando el tipo del primer tramo (5%), y en los 3 siguientes, el del 2º tramo (6%).
luego, Vk = 2.624.316 * (1 + 0,05)^-3 * (1 + 0,06)^-3
luego, Vk = 1.903.264 ptas.
El valor en el momento 0 de las rentas correspondientes al 3º tramo es de 1.903.264 ptas.
4º) Una vez calculado el valor actual de los tres tramos se suman y se obtiene el valor actual de toda la renta.
luego, Vo = 2.723.248 + 2.309038 + 1.903.264
luego, Vo = 6.935.550 ptas.
Por lo tanto, el valor actual de toda la renta es de 6.935.550 ptas.
En este tipo de renta en la que se aplican diversos tipos de interés resulta interesante conocer el tipo medio resultante.
Para ello se aplica la formula como si se tratara de una renta normal, con un sólo tipo de interés, y se despeja de la formula este tipo de interés medio:
luego, Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i)
luego, 6.935.550 = 1.000.000 * ((1 - (1 + im)^-9)/ im) (donde im es el tipo medio)
El cálculo de im exige una calculadora financiera, o se puede hacer por tanteo
luego im = 5,555% (calculado por tanteo)
Por lo tanto, la renta que hemos visto con tres tipos de interés diferentes es equivalente a una renta de igual duración y con los mismo términos de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés constante del 5,555%.
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